1991-三南-17 单-等体积几何体的全面积

本题导读

本题考查等体积条件下正方体、球、等边圆柱全面积的大小比较。

📌【题干】

Question

（1991年三南） 体积相等的正方体、球、等边圆柱（即底面直径与母线相等的圆柱）的全面积分别为 $S_1$、$S_2$、$S_3$，那么它们的大小关系为()

A. $S_1<S_2<S_3$　　　　　B. $S_1<S_3<S_2$　　　　　C. $S_2<S_3<S_1$　　D. $S_2<S_1<S_3$

🔍【思路分析】

破题导航

设体积均为 $V$，分别写出三者的全面积并用 $V$ 表示，比较其大小。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

设体积均为 $V$。正方体全面积 $S_1=6V^{2/3}$，故 $S_1^3=216V^2$；球半径满足 $\frac{4}{3}\pi R^3=V$，$S_2=4\pi R^2$，故 $S_2^3=36\pi V^2$；等边圆柱设底面半径 $r$、高 $2r$，由 $2\pi r^3=V$，$S_3=6\pi r^2$，故 $S_3^3=54\pi V^2$。因 $36\pi <54\pi <216$，故 $S_2<S_3<S_1$。故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等体积几何体的全面积

核心方法：设体积均为 V，S1=6V^(2/3)、S2=4πR²、S3=6πr²，比较立方 S²：216V²、36πV²、54πV²，故 S2<S3<S1。

避坑指南：等体积比较面积

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：等体积下球的表面积最小（等周不等式在空间的表现）。

结论推广：比较表面积可比较其平方以消去根式。

方法推广：等体积球、柱、锥表面积比较常考。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 1993-新高考文-14 单-直角梯形旋转体的全面积与体积
• 2000-大纲文-09 单-圆柱全面积与侧面积之比
• 1992-全国文-05 单-圆柱与球的表面积比