1990-广东文-29 填-三棱锥的高

本题导读

本题考查正三棱锥的高，以及侧棱两两成 60° 的几何特征。

📌【题干】

Question

（1990年广东卷(文)） 如果三棱锥每条侧棱长都是 $a$，且每两条侧棱所成的角都是 $60^{\circ }$，那么这个三棱锥的高的长度是　$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

三条侧棱两两成 60°，底面是正三角形，用勾股定理求高。

✅【答案】

Success

$\frac{\sqrt{6}}{3}a$

✍【详细解析】

Abstract

三条侧棱 $PA=PB=PC=a$ 两两成 $60^{\circ }$，故底面 $△ABC$ 是边长为 $a$ 的正三角形。顶点 $P$ 在底面的射影 $O$ 是正三角形的中心。$AO=\frac{2}{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}a=\frac{\sqrt{3}}{3}a$。故高 $PO=\sqrt{P{A}^2-A{O}^2}=\sqrt{a^2-\frac{a^2}{3}}=\sqrt{\frac{2}{3}}a=\frac{\sqrt{6}}{3}a$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三棱锥的高

核心方法：正三棱锥（侧棱两两成 60°）求高。

避坑指南：三棱锥高

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：正三棱锥侧棱两两成 60°。

结论推广：底面是正三角形。

方法推广：高与侧棱

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 1992-三南-23 填-三棱锥的体积与二面角
• 1990-全国文-20 填-三棱柱的截面分体积
• 1991-三南-23 填-斜三棱柱截面分体积