1990-全国卷理-22 解-三角函数的和差化积

本题导读

本题考查三角两角和与差的公式、和差化积公式。核心在于和差化积法、构造两式相除法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（1990年全国卷(理)） 已知 $\sin \alpha +\sin \beta =\frac{1}{4}$，$\cos \alpha +\cos \beta =\frac{1}{3}$，求 $\tan (\alpha +\beta )$ 的值.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 观察结构选择公式：已知条件是两个角度的正弦和与余弦和，目标是求解两角和的正切值 $\tan (\alpha +\beta )$。可以利用和差化积公式将两个已知等式展开为乘积式。
2. 提取共有半角：
   • $\sin \alpha +\sin \beta =2\sin \frac{\alpha +\beta }{2}\cos \frac{\alpha -\beta }{2}$；
   • $\cos \alpha +\cos \beta =2\cos \frac{\alpha +\beta }{2}\cos \frac{\alpha -\beta }{2}$。
3. 消除差异项并求切值：将两个和差化积后的等式相除，可以完全消去公共因式 $2\cos \frac{\alpha -\beta }{2}$，从而直接求得 $\tan \frac{\alpha +\beta }{2}$ 的值。
4. 应用二倍角公式：将 $\alpha +\beta$ 视为 $\frac{\alpha +\beta }{2}$ 的二倍角，利用正切的倍角公式 $\tan 2\theta =\frac{2\tan \theta }{1-{\tan }^2\theta }$ 求出最终答案。

✅【答案】

Success

$\frac{24}{7}$

✍【详细解析】

Abstract

由已知条件，应用三角函数的和差化积公式： $\sin \alpha +\sin \beta =2\sin \frac{\alpha +\beta }{2}\cos \frac{\alpha -\beta }{2}=\frac{1}{4}\text{(1)}$ $\cos \alpha +\cos \beta =2\cos \frac{\alpha +\beta }{2}\cos \frac{\alpha -\beta }{2}=\frac{1}{3}\text{(2)}$

由方程②可知，$\cos \frac{\alpha +\beta }{2}\ne 0$ 且 $\cos \frac{\alpha -\beta }{2}\ne 0$（若其中一项为0，则乘积为0，与 $\frac{1}{3}$ 矛盾）。 将方程①两边同时除以方程②，可消去公共项 $2\cos \frac{\alpha -\beta }{2}$： $\frac{2\sin \frac{\alpha +\beta }{2}\cos \frac{\alpha -\beta }{2}}{2\cos \frac{\alpha +\beta }{2}\cos \frac{\alpha -\beta }{2}}=\frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{3}}$

化简得： $\tan \frac{\alpha +\beta }{2}=\frac{3}{4}$

由于 $\alpha +\beta =2\cdot \left(\frac{\alpha +\beta }{2}\right)$，根据正切的二倍角公式，有： $\tan (\alpha +\beta )=\frac{2\tan \frac{\alpha +\beta }{2}}{1-{\tan }^2\frac{\alpha +\beta }{2}}$

将 $\tan \frac{\alpha +\beta }{2}=\frac{3}{4}$ 代入上式中： $\tan (\alpha +\beta )=\frac{2\times \frac{3}{4}}{1-{\left(\frac{3}{4}\right)}^2}=\frac{\frac{3}{2}}{1-\frac{9}{16}}=\frac{\frac{3}{2}}{\frac{7}{16}}$

计算分式繁分式化简： $\tan (\alpha +\beta )=\frac{3}{2}\times \frac{16}{7}=\frac{24}{7}$

故 $\tan (\alpha +\beta )$ 的值为 $\frac{24}{7}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：和差化积公式的应用，正切函数的倍角公式，三角代数式的“整体化”消元思想。
2. 核心方法：
   • 和差化积除法消元法：直接将和式化为积式，通过相除把未知且无法求解的“差角”因式消去，直接聚焦于“和角”结构，是最快最标准的通法。
   • 平方加法求和法（另解）：将两已知式分别平方后相加，可求出 $\cos (\alpha -\beta )$ 的值；进而可以通过二倍角或展开式配合方程组间接求解，但运算量远大于和差化积法。
3. 避坑指南：
   • 试图解出独立角：本题中只有两个方程，却含有 $\alpha ,\beta$ 两个未知角，在没有限定区间的情况下，绝对无法也无需解出 $\alpha$ 和 $\beta$ 的具体值。必须建立整体求解思维。
   • 倍角公式分母符号记错：正切二倍角公式分母为 $1-{\tan }^2\theta$，考生容易与正弦二倍角万能公式的分母 $1+{\tan }^2\theta$ 记混，导致将分母算成 $\frac{25}{16}$ 从而得出错误答案。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题是三角恒等变换章节中关于“已知和式求合角”的元祖级高考经典题，源自教材中对和差化积与倍角公式综合熟练度的梯度的考查。
2. 结论推广：若设 $\sin \alpha +\sin \beta =m$，$\cos \alpha +\cos \beta =n$（其中 $n\ne 0$），则通过相同的数学模型推导，可以得到一组极其通用的恒等求值链：
   • $\tan \frac{\alpha +\beta }{2}=\frac{m}{n}$
   • $\tan (\alpha +\beta )=\frac{2mn}{n^2-m^2}$ 将本题中 $m=\frac{1}{4},n=\frac{1}{3}$ 代入该推广结论中直接验算：$\tan (\alpha +\beta )=\frac{2\times \frac{1}{4}\times \frac{1}{3}}{{\left(\frac{1}{3}\right)}^2-{\left(\frac{1}{4}\right)}^2}=\frac{\frac{1}{6}}{\frac{1}{9}-\frac{1}{16}}=\frac{\frac{1}{6}}{\frac{7}{144}}=\frac{1}{6}\times \frac{144}{7}=\frac{24}{7}$。结论完全一致。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 10.01 两角和与差及辅助角公式

类题演练 (Links)

• 1992-全国卷理-25 解-两角和差公式求值
• 1991-三南-25 解-和差角公式求值
• 1992-三南-18 填-半角公式求值