1990-全国卷理-16 填-双曲线的准线

本题导读

本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的几何性质（焦点、准线）。

📌【题干】

Question

（1990年全国卷(理)） 双曲线 $\frac{y^2}{16}-\frac{x^2}{9}=1$ 的准线方程是$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 确定焦点位置：观察双曲线方程 $\frac{y^2}{16}-\frac{x^2}{9}=1$，正项在 $y^2$ 项前，说明双曲线的焦点在 $y$ 轴上。
2. 提取基本量：从标准方程中直接读取 $a^2$ 和 $b^2$ 的值，进而利用关系式 $c^2=a^2+b^2$ 计算出半焦距 $c$．
3. 写出准线方程：焦点在 $y$ 轴上的双曲线，其准线方程形式为 $y=\pm \frac{a^2}{c}$，代入数值化简即可。

✅【答案】

Success

$y=\pm \frac{16}{5}$

✍【详细解析】

Abstract

解：由已知的双曲线方程 $\frac{y^2}{16}-\frac{x^2}{9}=1$ 可知，该双曲线的焦点在 $y$ 轴上。 其中： $a^2=16⟹a=4$ $b^2=9$

根据双曲线中参数的平方关系，半焦距 $c$ 满足： $c^2=a^2+b^2=16+9=25⟹c=5$

因为焦点在 $y$ 轴上，所以其准线垂直于 $y$ 轴，准线方程为： $y=\pm \frac{a^2}{c}$

将 $a^2=16,c=5$ 代入上式中，得： $y=\pm \frac{16}{5}$

填空答案为：$y=\pm \frac{16}{5}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：双曲线几何性质中的准线方程，双曲线基本元 $a,b,c$ 的运算及其几何意义。
2. 核心方法：特征对比法。通过将具体方程与对应的标准方程模型（$\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1$）进行项与项的对齐，提取核心几何要素。
3. 避坑指南：
   • 混淆焦点位置导致变量写错：本题焦点在 $y$ 轴，准线必然水平，故方程必须是 $y=\dots$．若惯性思维写成 $x=\pm \frac{16}{5}$ 则出错。
   • 公式记忆混淆：双曲线的准线位置表达式为 $\pm \frac{a^2}{c}$，容易与椭圆准线或双曲线渐近线方程公式混淆；计算 $c$ 时需牢记双曲线中 $c^2=a^2+b^2$，不宜错用椭圆的 $c^2=a^2-b^2$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于圆锥曲线大类中的基础概念识记与简单计算题，直接源自教材中“双曲线的几何性质”章节的课后基础练习题，用以检验学生对双曲线第二定义的理解基础。
2. 结论推广：对于双曲线而言，准线是满足第二定义（动点到定点与到定直线的距离之比为常数离心率 $e$）的重要几何要素。
   • 当方程为 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 时，准线方程为 $x=\pm \frac{a^2}{c}=\pm \frac{a}{e}$；
   • 当方程为 $\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1$ 时，准线方程为 $y=\pm \frac{a^2}{c}=\pm \frac{a}{e}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结

类题演练 (Links)

• 1992-三南-17 单-双曲线的准线距离
• 1992-全国文-23 填-双曲线的方程
• 1992-全国卷理-22 填-双曲线的方程与离心率