1990-全国卷理-15 单-函数图象的变换

本题导读

本题考查反三角函数（反正切函数），以及函数图象的平移变换。

📌【题干】

Question

（1990年全国卷(理)） 设函数 $y=\arctan x$ 的图象沿 $x$ 轴正方向平移 2 个单位所得到的图象为 $C$.又设图象 $C^{\prime }$ 与 $C$ 关于原点对称，那么 $C^{\prime }$ 所对应的函数是 ()

A. $y=-\arctan (x-2)$　B. $y=\arctan (x-2)$ C. $y=-\arctan (x+2)$ D. $y=\arctan (x+2)$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 执行平移变换：根据“左加右减”的函数图象平移规律，将 $y=\arctan x$ 沿 $x$ 轴正方向（向右）平移 2 个单位，用 $x-2$ 代替原解析式中的 $x$，写出图象 $C$ 的解析式。
2. 执行对称变换：根据关于原点对称的图形变换规律，图象上任意一点 $(x,y)$ 变换后的对应点为 $(-x,-y)$．因此，在图象 $C$ 的解析式中，用 $-x$ 代替 $x$，用 $-y$ 代替 $y$．
3. 化简解析式：利用反正切函数的奇偶性（$\arctan (-x)=-\arctan x$），将得到的解析式化简为 $y=f(x)$ 的形式。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

第一步，将函数 $y=\arctan x$ 的图象沿 $x$ 轴正方向平移 2 个单位，得到图象 $C$ 的方程为： $y=\arctan (x-2)$

第二步，求与图象 $C$ 关于原点对称的图象 $C^{\prime }$ 的方程。 设 $C^{\prime }$ 上任意一点的坐标为 $(x,y)$，则它关于原点的对称点 $(-x,-y)$ 必然在图象 $C$ 上。 将 $(-x,-y)$ 代入图象 $C$ 的方程中，得： $-y=\arctan (-x-2)$

第三步，对上述方程进行化简。 两边同乘以 $-1$，得： $y=-\arctan [-(x+2)]$

由于反正切函数 $y=\arctan x$ 是奇函数，满足 $\arctan (-\theta )=-\arctan \theta$，所以： $-\arctan [-(x+2)]=-[-\arctan (x+2)]=\arctan (x+2)$

因此，图象 $C^{\prime }$ 所对应的函数解析式为： $y=\arctan (x+2)$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：函数几何变换的代数法则（平移与中心对称），反正切函数的奇偶性特征。
2. 核心方法：相关点代换法。处理连续多种图形变换时，严格遵循“关于谁对称就给谁加负号，向哪平移就对自变量单独加减”的代换法则，按步骤稳步推进。
3. 避坑指南：
   • 符号化简出错：在处理 $\arctan (-x-2)$ 时，容易想当然地认为提负号后变成 $-\arctan (x-2)$。必须先把负号完全提取到括号外，即 $\arctan [-(x+2)]$，再利用奇函数性质化简，避免漏掉加号错选成 (A) 或 (C)。
   • 公式记忆混淆：部分考生对反三角函数性质不熟，若不清楚 $\arctan x$ 是奇函数，会在最后一步推导受阻。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题考查反三角函数与图象变换，源自教材中对函数图象变换（平移、对称、伸缩）通用规律的总结。虽然反正切函数在现代高考中已淡化，但其所承载的图象变换代换规律在所有基本初等函数中依然通用。
2. 结论推广：对于任意函数 $y=f(x)$，若先将其沿 $x$ 轴正方向平移 $m$（$m>0$）个单位，再将所得图象关于原点对称，则最终图象对应的函数解析式为 $y=-f(-x-m)$。若 $f(x)$ 为奇函数，则解析式可进一步化简为 $y=f(x+m)$。本题即符合此推广结论。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 08.01 函数图象变换、模型与零点

类题演练 (Links)

• 1991-上海-09 填-对称图象的解析式
• 1992-上海-08 填-反函数与定义域
• 1992-全国卷理-16 单-反函数与奇偶性