1990-全国卷理-12 单-充要条件的判定

本题导读

本题考查充分条件与必要条件的判定，以及绝对值不等式的几何意义。

📌【题干】

Question

（1990年全国卷(理)） 已知 $h>0$.设命题甲为：两个实数 $a,b$ 满足 $|a-b|<2h$；命题乙为：两个实数 $a,b$ 满足 $|a-1|<h$ 且 $|b-1|<h$.那么甲是乙的 ()

A. 充分不必要条件　　　　　　　　　　　　　B. 必要不充分条件

C. 充要条件　　　　　　　　　　　　　　　　D. 既不充分也不必要条件

🔍【思路分析】

破题导航

1. 几何化解析命题乙：在数轴上， $|a-1|<h$ 表示点 $a$ 到 $1$ 的距离小于 $h$，即 $a\in (1-h,1+h)$；同理 $b\in (1-h,1+h)$．由此分析此时 $a$ 与 $b$ 之间的最大距离。
2. 检验充分性（甲 $⟹$ 乙）：探究当 $|a-b|<2h$ 成立时， $a$ 和 $b$ 是否必须被限制在以 $1$ 为中心的半径为 $h$ 的邻域内。可通过寻找反例来验证。
3. 检验必要性（乙 $⟹$ 假）：探究当 $a$ 和 $b$ 都在 $(1-h,1+h)$ 内时，利用绝对值三角不等式或区间长度判定 $|a-b|<2h$ 是否恒成立。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

一、验证充分性（甲 $⟹$ 乙）： 设 $h=1$．命题甲的内容为 $|a-b|<2$． 取 $a=10,b=9.5$，$|10-9.5|=0.5<2$，命题甲成立。 然而此时 $|a-1|=|10-1|=9>1$，不满足命题乙。 这说明由命题甲推不出命题乙，即充分性不成立。

二、验证必要性（乙 $⟹$ 甲）： 由命题乙可知： $\{\begin{array}{l}-h<a-1<h\\ -h<b-1<h⟹-h<1-b<h\end{array}$

利用绝对值三角不等式： $|a-b|=|(a-1)-(b-1)|\le |a-1|+|b-1|$ 因为 $|a-1|<h$ 且 $|b-1|<h$，所以： $|a-b|<h+h=2h$ 即命题甲必然成立。由命题乙可以推出命题甲，必要性成立。

综上所述，甲是乙的必要不充分条件。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：充分条件与必要条件的定义（“若 $p⟹q$ ，则 $p$ 是 $k$ 的充分条件，$q$ 是 $p$ 的必要条件”），绝对值不等式的运算法则。
2. 核心方法：
   • 数轴区间法：命题乙表示 $a,b$ 同在长为 $2h$ 的开区间 $(1-h,1+h)$ 内，该区间内任意两点间的距离小于区间总长 $2h$，故乙 $⟹$ 甲。而甲表示 $a,b$ 两点间距离小于 $2h$，这两点可以分布在数轴的任意位置，不一定围绕数字 $1$，故甲 $/⟹$ 乙。
   • 反例代入法：在判定充分性时，通过给 $a,b$ 赋予脱离给定中心点 $1$ 的具体数值，可快速排除充分性。
3. 避坑指南：
   • 不宜颠倒逻辑因果：题目问的是“甲是乙的什么条件”，即考核的是以甲为条件、乙为结论（甲 $⟹$ 乙）以及以乙为条件、甲为结论（乙 $⟹$ 甲）的方向，容易在推导正确后将“必要不充分”错看或误选为“充分不必要”。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源自高中代数中基础逻辑与不等式性质的交汇题，是历届高考对极限思想中邻域概念的初等化考查。
2. 结论推广：本题蕴含了高等数学数学分析中极限定义（$\epsilon -\delta$ 语言）的核心逻辑。命题乙实际上对应着点 $a$ 和 $b$ 落在 $1$ 的 $h$-邻域 $U(1,h)$ 内。根据度量空间的性质，若两点同属于一个直径为 $d$ 的有界集中，则这两点之间的距离必小于 $d$。该结论在柯西收敛准则及函数连续性的证明中具有基石作用。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 02.01 常用逻辑用语

类题演练 (Links)

• 1992-三南-15 单-充要条件的判断
• 1992-上海-20 单-充要条件的判断
• 1991-三南-15 单-充分必要条件判断