1990-全国卷理-11 单-异面直线所成的角

本题导读

本题考查正四面体的几何性质，以及异面直线所成的角。

📌【题干】

Question

（1990年全国卷(理)） 如图，正三棱锥 $S-ABC$ 的侧棱与底面边长相等，如果 $E$、$F$ 分别为 $SC$、$AB$ 的中点，那么异面直线 $EF$ 与 $SA$ 所成的角等于 ()

A. $90^{\circ }$　　　　　　　　　B. $60^{\circ }$　　　　　　　　　C. $45^{\circ }$　　　　　　　　　D. $30^{\circ }$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 确定几何体类型：由于正三棱锥的侧棱与底面边长相等，该几何体为每个面都是全等正三角形的正四面体。设其棱长为 $a$。
2. 平移异面直线：寻找或构造与 $SA$ 平行的直线。可以取 $AC$ 的中点 $G$，连接 $EG$ 和 $FG$。由中位线定理可知 $EG\parallel SA$，从而 $\angle GEF$（或其补角）即为异面直线 $EF$ 与 $SA$ 所成的角。
3. 计算三角形边长：分别求出 $△EFG$ 三条边 $EG,FG,EF$ 的长度，通过边长关系判定其形状，进而确定内角大小。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

解：设该正四面体的棱长为 $a$。 取 $AC$ 的中点 $G$，连接 $EG$ 和 $FG$。

在 $△SAC$ 中，因为 $E,G$ 分别是 $SC,AC$ 的中点， 所以 $EG$ 是 $△SAC$ 的中位线，则： $EG\parallel SA,EG=\frac{1}{2}SA=\frac{1}{2}a$

因为 $EG\parallel SA$，所以异面直线 $EF$ 与 $SA$ 所成的角就是直线 $EF$ 与 $EG$ 所成的角，即 $\angle GEF$（或其补角）。

在 $△ABC$ 中，因为 $F,G$ 分别是 $AB,AC$ 的中点， 所以 $FG$ 是 $△ABC$ 的中位线，则： $FG=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}a$

连接 $SB$。在 $△SBC$ 和 $△ABC$ 中，$E,F$ 分别是 $SC,AB$ 的中点。 根据正四面体对棱中点距离公式（或通过对 $△ABM$ 等截面应用勾股定理定理计算）： 连接 $AF$ 和 $CF$，由于 $△SAB$ 和 $△CAB$ 为正三角形，高 $SF=CF=\frac{\sqrt{3}}{2}a$。 在等腰 $△SFC$ 中，$E$ 为 $SC$ 中点，则 $FE\perp SC$。 根据勾股定理： $EF=\sqrt{C{F}^2-C{E}^2}=\sqrt{{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}a\right)}^2-{\left(\frac{1}{2}a\right)}^2}=\sqrt{\frac{3}{4}{a}^2-\frac{1}{4}{a}^2}=\frac{\sqrt{2}}{2}a$

现在已知 $△EFG$ 的三边长分别为： $EG=\frac{1}{2}a,FG=\frac{1}{2}a,EF=\frac{\sqrt{2}}{2}a$

因为： $E{G}^2+F{G}^2={\left(\frac{1}{2}a\right)}^2+{\left(\frac{1}{2}a\right)}^2=\frac{1}{4}{a}^2+\frac{1}{4}{a}^2=\frac{1}{2}{a}^2$ $E{F}^2={\left(\frac{\sqrt{2}}{2}a\right)}^2=\frac{1}{2}{a}^2$

所以： $E{G}^2+F{G}^2=E{F}^2$

由此可知 $△EFG$ 是以 $EF$ 为斜边的等腰直角三角形，其中 $\angle EGF=90^{\circ }$。 则底角： $\angle GEF=45^{\circ }$

即异面直线 $EF$ 与 $SA$ 所成的角等于 $45^{\circ }$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：异面直线所成角的传统几何解法（平移法），正四面体的特殊度量关系。
2. 核心方法：
   • 一中点引出双中位线：通过增设辅助点 $AC$ 的中点 $G$，同时利用了两个面上的中位线性质，完美实现了异面直线的平移聚焦。
   • 空间向量法：以 $A$ 为原点建立空间直角坐标系，写出各点坐标，利用向量夹角公式 $\cos ⟨\overrightarrow{EF},\overrightarrow{SA}⟩=\frac{|\overrightarrow{EF}\cdot \overrightarrow{SA}|}{|\overrightarrow{EF}||\overrightarrow{SA}|}$ 求解，可免去作辅助线的繁琐。
3. 避坑指南：计算 $EF$ 长度时容易忙中出错。必须明确 $EF$ 是正四面体一组相对棱的中点连线（对棱中段），其长度具有固定的比例系数 $\frac{\sqrt{2}}{2}a$，不可将其误当成普通的三角形中位线。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源自教材立体几何部分的经典课后习题。正四面体（等棱正三棱锥）作为空间结构中对称性最高的组合体，其对棱垂直、对棱中点连线互相垂直等性质是历年高考考查空间想象力的核心温床。
2. 结论推广：在棱长为 $a$ 的正四面体内：
   • 任意一组相对棱（如 $SA$ 与 $BC$）互相垂直，它们所成的角为 $90^{\circ }$。
   • 任意一组相对棱的中点连线（如本题的 $EF$），不仅垂直于这两条对棱（$EF\perp SA$ 且 $EF\perp BC$），而且其长度恒为 $\frac{\sqrt{2}}{2}a$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.05 几何法求空间角专题

类题演练 (Links)

• 1992-全国文-14 单-异面直线所成的角
• 1992-全国卷理-14 单-异面直线所成的角
• 1992-上海-10 填-异面直线所成的角