1990-全国卷理-06 单-三角式的值域

本题导读

本题考查三角函数在各象限的符号特征，以及绝对值的几何意义与化简。

📌【题干】

Question

（1990年全国卷(理)） 函数 $y=\frac{\sin x}{|\sin x|}+\frac{|\cos x|}{\cos x}+\frac{\tan x}{|\tan x|}+\frac{|\cot x|}{\cot x}$ 的值域是 ()

A. $\{-2,4\}$　　　　B. $\{-2,0,4\}$　　　　C. $\{-2,0,2,4\}$　　　　D. $\{-4,-2,0,4\}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 确定定义域：由于分母中含有 $\sin x$, $\cos x$, $\tan x$, $\cot x$ 及其绝对值，自变量 $x$ 不能落在坐标轴上，即 $x$ 只能是第一、二、三、四象限的角。
2. 分类讨论（按象限）：根据各类三角函数在四个象限中的正负号规律，去掉各项的绝对值符号。
3. 计算各象限的常数值：将化简后的式子进行求和，汇总所有可能出现的单点值，组合成集合即为值域。

✍ 【详细解析】

解：由题意知，$\sin x\ne 0$, $\cos x\ne 0$，故 $x$ 的终边不在坐标轴上。下面分象限讨论：

1. 当 $x$ 满足第一象限角时： $\sin x>0$, $\cos x>0$, $\tan x>0$, $\cot x>0$． $y=\frac{\sin x}{\sin x}+\frac{\cos x}{\cos x}+\frac{\tan x}{\tan x}+\frac{\cot x}{\cot x}=1+1+1+1=4$

2. 当 $x$ 满足第二象限角时： $\sin x>0$, $\cos x<0$, $\tan x<0$, $\cot x<0$． $y=\frac{\sin x}{\sin x}+\frac{-\cos x}{\cos x}+\frac{\tan x}{-\tan x}+\frac{-\cot x}{\cot x}=1-1-1-1=-2$

3. 当 $x$ 满足第三象限角时： $\sin x<0$, $\cos x<0$, $\tan x>0$, $\cot x>0$． $y=\frac{\sin x}{-\sin x}+\frac{-\cos x}{\cos x}+\frac{\tan x}{\tan x}+\frac{\cot x}{\cot x}=-1-1+1+1=0$

4. 当 $x$ 满足第四象限角时： $\sin x<0$, $\cos x>0$, $\tan x<0$, $\cot x<0$． $y=\frac{\sin x}{-\sin x}+\frac{\cos x}{\cos x}+\frac{\tan x}{-\tan x}+\frac{-\cot x}{\cot x}=-1+1-1-1=-2$

综上所述，函数 $y$ 只能取到 $-2,0,4$ 这三个孤立的值，因此值域为 $\{-2,0,4\}$．

故正确选项为 (B)．

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

记 $s=\frac{\sin x}{|\sin x|}$、$c=\frac{|\cos x|}{\cos x}$，则 $s,c\in \{-1,1\}$，$s$ 是 $\sin x$ 的符号、$c$ 是 $\cos x$ 的符号。 因为 $\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$ 与 $\sin x\cos x$ 同号，$\cot x=\frac{1}{\tan x}$ 与 $\tan x$ 同号，所以 $\frac{\tan x}{|\tan x|}=\frac{|\cot x|}{\cot x}=sc$。 于是 $y=s+c+2sc$，按 $s$、$c$ 的符号组合逐一算：

• $(s,c)=(1,1)$：$y=1+1+2=4$；
• $(s,c)=(1,-1)$：$y=1-1-2=-2$；
• $(s,c)=(-1,1)$：$y=-1+1-2=-2$；
• $(s,c)=(-1,-1)$：$y=-1-1+2=0$。 故值域为 $\{-2,0,4\}$。故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：三角函数符号法则（“一全正，二正弦，三切正，四余弦”）。
2. 核心方法：区间/象限分类讨论法。通过对角 $x$ 终边所在象限进行穷举，将含有绝对值的解析式转化为常数。
3. 避坑指南：
   • 容易漏掉第三象限导致漏掉元素 $0$ 而错选 (A)；也容易在计算第四象限时因粗心将 $-1+1-1-1$ 算错为 $-4$ 或 $0$。
   • 牢记集合中元素的“互异性”，第二象限和第四象限计算结果均为 $-2$，在写值域集合时只需写一个 $-2$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于经典的符号函数与三角函数结合的题型，源自教材中对“各象限三角函数值符号”的基本认知训练。
2. 结论推广：此类题目可演变为项数较少的变形。 例如，若简略为 $y=\frac{\sin x}{|\sin x|}+\frac{|\cos x|}{\cos x}+\frac{\tan x}{|\tan x|}$， 则在一、二、三、四象限的值分别为 $3,-1,-1,-1$，此时其值域为 $\{-1,3\}$。此类问题的求解关键始终是“轴线断开，分象限讨论”。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 07.02 三角函数的定义与诱导公式

类题演练 (Links)

• 1992-上海-03 填-三角函数的最值
• 1991-全国卷理-01 单-同角三角函数求值
• 1992-全国文-20 填-同角三角函数的求值