1990-全国卷理-05 单-正弦型函数的图象

本题导读

本题考查正弦型函数 $y=A\sin (\omega x+\phi )$ 的图象与性质，以及三角函数图象的特殊点（截距、零点）。

📌【题干】

Question

（1990年全国卷(理)） 如图是函数 $y=2\sin (\omega x+\phi )$ $\left(|\phi |<\frac{\pi }{2}\right)$ 的图象，那么 ()

A. $\omega =\frac{10}{11},\phi =\frac{\pi }{6}$　　　B. $\omega =\frac{10}{11},\phi =-\frac{\pi }{6}$　　　C. $\omega =2,\phi =\frac{\pi }{6}$　　　D. $\omega =2,\phi =-\frac{\pi }{6}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由图象过点 $(0,1)$ 且在 $x=0$ 附近递增，代入可求 $\phi$。
2. 由图象标出的零点 $\left(\frac{11\pi }{12},0\right)$ 求 $\omega$。
3. 把 $\phi$ 和零点坐标代入解析式，结合相位恰好经过一个周期求 $\omega$。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

解：

由图象，$x=0$ 时 $y=1$，代入： $2\sin (0\cdot \omega +\phi )=1⟹\sin \phi =\frac{1}{2}$

因为 $|\phi |<\frac{\pi }{2}$，且在 $x=0$ 处函数值单调递增（$\cos \phi >0$），所以： $\phi =\frac{\pi }{6}$

此时 $y=2\sin \left(\omega x+\frac{\pi }{6}\right)$。

由图象，点 $\left(\frac{11\pi }{12},0\right)$ 是图象经过一个最高点和一个最低点后再次向上穿过 $x$ 轴的零点，即从 $x=0$ 到 $x=\frac{11\pi }{12}$，相位恰好经过一个完整周期，所以： $\omega \cdot \frac{11\pi }{12}+\frac{\pi }{6}=2\pi$

移项： $\omega \cdot \frac{11\pi }{12}=2\pi -\frac{\pi }{6}=\frac{11\pi }{6}$

解得： $\frac{\omega }{2}=1⟹\omega =2$

所以 $\omega =2,\phi =\frac{\pi }{6}$，正确选项为 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：由图象确定 $y=A\sin (\omega x+\phi )$ 中 $\omega$ 和 $\phi$。
2. 核心方法：特殊点代入法（先用 $y$ 轴截距定 $\phi$，再用零点或最值点定 $\omega$）。
3. 避坑指南：
   • 由 $\sin \phi =\frac{1}{2}$ 得 $\phi =\frac{\pi }{6}$ 或 $\frac{5\pi }{6}$，需根据 $x=0$ 处单调递增排除 $\frac{5\pi }{6}$。
   • 找准零点 $\frac{11\pi }{12}$ 对应的相位，它是“过了一整波”后的点，相位累加为 $2\pi$，不能当成半周期。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题为三角函数图象解析式的逆向求解问题，考查数形结合。
2. 结论推广：对 $y=A\sin (\omega x+\phi )$（$\omega >0$），若图象上相邻两个“上穿零点”（由下往上穿过 $x$ 轴）的横坐标为 $x_1,x_2$，则 $T=x_2-x_1=\frac{2\pi }{\omega }$，从而 $\omega =\frac{2\pi }{x_2-x_1}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 1991-三南-14 单-由图象确定三角函数解析式
• 1992-上海-11 单-函数图象的识别
• 1991-上海-14 单-幂函数图象的识别