1990-全国卷理-04 单-三角方程的根的个数

本题导读

本题考查三角方程的解法，以及二倍角公式。

📌【题干】

Question

（1990年全国卷(理)） 方程 $\sin 2x=\sin x$ 在区间 $(0,2\pi )$ 内的解的个数是 ()

A. 1　　　　　　　　　B. 2　　　　　　　　　C. 3　　　　　　　　　D. 4

🔍【思路分析】

破题导航

1. 基本化简：利用正弦的二倍角公式 $\sin 2x=2\sin x\cos x$，将方程统一为单角 $x$ 的三角函数式。
2. 因式分解：移项并提取公因式 $\sin x$，将方程转化为两个简单的三角方程 $\sin x=0$ 或 $2\cos x-1=0$．
3. 区间截取：在开区间 $(0,2\pi )$ 内分别求解这两个方程，统计所有满足条件的自变量 $x$ 的个数。

✍ 【详细解析】

解：由二倍角公式，原方程 $\sin 2x=\sin x$ 可化为： $2\sin x\cos x=\sin x$

移项得： $2\sin x\cos x-\sin x=0$ $\sin x(2\cos x-1)=0$

由此可得两个独立方程：

1. $\sin x=0$
2. $2\cos x-1=0⟹\cos x=\frac{1}{2}$

考虑自变量的取值范围为开区间 $x\in (0,2\pi )$：

• 对于方程 $\sin x=0$，在此区间内的解为：$x=\pi$（注意：$x=0$ 和 $x=2\pi$ 不在开区间内），共 1 个解；
• 对于方程 $\cos x=\frac{1}{2}$，在此区间内的解为：$x=\frac{\pi }{3}$ 和 $x=\frac{5\pi }{3}$，共 2 个解。

两部分解无重合，故原方程在区间 $(0,2\pi )$ 内的解共有 $1+2=3$ 个。

故正确选项为 (C)．

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：正弦二倍角公式的展开，基本三角方程的求解以及区间限制对解的影响。
2. 核心方法：
   • 代数因式分解法：移项提取公因式，转化为两个一元三角方程求解。
   • 数形结合法：在同一坐标系内画出 $y=\sin 2x$ 和 $y=\sin x$ 在 $(0,2\pi )$ 上的图象，直接观察其交点个数（除去端点后有 3 个交点）。
3. 避坑指南：
   • 切忌两边同除以 $\sin x$：若直接约去 $\sin x$，会漏掉 $\sin x=0$ 这一组解。
   • 注意区间的开闭：题目给出的是开区间 $(0,2\pi )$，因此 $x=0$ 和 $x=2\pi$ 必须舍去。若误看成闭区间 $[0,2\pi ]$，则会错选为 5 个。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题为三角学的经典题型，源于教材中对三角方程根的个数的考查。它主要测试学生对周期函数在单周期内零点分布规律的掌握。
2. 结论推广：对于方程 $\sin nx=\sin x$（$n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$且 $n\ge 2$）在开区间 $(0,2\pi )$ 内的解的个数问题：
   • 可通过和差化积公式化为 $2\cos \frac{(n+1)x}{2}\sin \frac{(n-1)x}{2}=0$．
   • 经推导可知，其在 $(0,2\pi )$ 内的通解个数为 $2n-2$ 个。本题中 $n=2$，代入公式得 $2(2)-2=3$ 个，结论完全吻合。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

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类题演练 (Links)

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