1984-全国卷理-08 解-三角恒等变换与三角方程

本题导读

本题考查三角恒等变形与最简三角方程求解。

📌【题干】

Question

（1984年全国卷(理)） 求方程 $(\sin x+\cos x{)}^2=\frac{1}{2}$ 的解集.

🔍【思路分析】

破题导航

展开后用倍角公式化为 $\sin 2x=-\frac{1}{2}$，再求通解。

✅【答案】

Success

$\{x\mid x=k\pi +\frac{7\pi }{12}\text{ 或 }x=k\pi +\frac{11\pi }{12},k\in \mathbf{Z}\}$

✍【详细解析】

Abstract

展开：${\sin }^{2}x+2\sin x\cos x+{\cos }^{2}x=1+\sin 2x=\frac{1}{2}\Rightarrow \sin 2x=-\frac{1}{2}$。故 $2x=2k\pi +\frac{7\pi }{6}$ 或 $2k\pi +\frac{11\pi }{6}$，即 $x=k\pi +\frac{7\pi }{12}$ 或 $k\pi +\frac{11\pi }{12}(k\in \mathbf{Z})$。解集为 $\{x\mid x=k\pi +\frac{7\pi }{12}\text{ 或 }x=k\pi +\frac{11\pi }{12},k\in \mathbf{Z}\}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三角恒等变换与三角方程

核心方法：倍角公式降幂

避坑指南：展开后用 sin2x=-1/2 求通解，解集须用集合表示

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：三角方程的求解

结论推广：降幂化为最简三角方程后求通解

方法推广：解集须用集合表示

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 1988-全国卷理-07 单-三角方程的解集
• 1990-全国卷理-04 单-三角方程的根的个数