1990-全国卷理-03 单-圆柱的体积

本题导读

本题考查柱体的轴截面与几何特征，以及圆柱的侧面积计算。

📌【题干】

Question

（1990年全国卷(理)） 如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是 $S$，那么圆柱的体积等于 ()

A. $\frac{S}{2}\sqrt{S}$　　　　　　　　B. $\frac{S}{2}\sqrt{\frac{S}{\pi }}$　　　　　　　　C. $\frac{S}{4}\sqrt{S}$　　　　　　　　D. $\frac{S}{4}\sqrt{\frac{S}{\pi }}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 几何特征转化：圆柱的轴截面是一个矩形，其两边长分别为圆柱的底面直径 $2r$ 和圆柱的高 $h$．由轴截面为正方形可知 $h=2r$．
2. 利用已知量表示参数：已知侧面积为 $S$，根据圆柱侧面积公式 $S=2\pi rh$，用 $S$ 表示出底面半径 $r$．
3. 计算体积：将 $r$ 与 $h$ 的代数式代入圆柱体积公式 $V=\pi r^{2}h$ 中，化简求得结果。

✍ 【详细解析】

解：设圆柱的底面半径为 $r$，高为 $h$． 因为圆柱的轴截面为正方形，所以高与底面直径相等，即： $h=2r$

由圆柱的侧面积公式可得： $S=2\pi rh=2\pi r\cdot (2r)=4\pi r^2$ 由此解得： $r^2=\frac{S}{4\pi }⟹r=\sqrt{\frac{S}{4\pi }}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{S}{\pi }}$

圆柱的体积公式为： $V=\pi r^{2}h=\pi r^2\cdot (2r)=2\pi r^3$

将 $r$ 的表达式代入体积公式中： $V=2\pi {\left(\frac{1}{2}\sqrt{\frac{S}{\pi }}\right)}^3=2\pi \cdot \frac{1}{8}\cdot \frac{S}{\pi }\sqrt{\frac{S}{\pi }}=\frac{S}{4}\sqrt{\frac{S}{\pi }}$

故正确选项为 (D)．

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：圆柱空间几何体的结构特征，侧面积与体积公式的综合应用。
2. 核心方法：参数转换法。通过引入中间变量（半径 $r$ 和高 $h$），利用已知量 $S$ 建立方程，最终消去中间变量求得目标量。
3. 避坑指南：不宜混淆圆柱的“轴截面”与“直观图”或“底面”。轴截面是过圆柱轴线的截面，其长和宽对应底面直径与高，若误将正方形条件理解为 $h=r$，将导致漏算系数。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于立体几何经典基础题，源自教材中对旋转体（圆柱、圆锥、圆台）性质的探究。轴截面为正方形的圆柱在几何学中常被称为“等边圆柱”。
2. 结论推广：对于任意等边圆柱（$h=2r$），其底面积 $S_{\text{底}}=\pi r^2$，侧面积 $S_{\text{侧}}=4\pi r^2$，全面积 $S_{\text{全}}=6\pi r^2$，体积 $V=2\pi r^3$．由此可直接得到以下恒等关系：
   • 体积与侧面积的关系：$V=\frac{S_{\text{侧}}}{4}\sqrt{\frac{S_{\text{侧}}}{\pi }}$
   • 体积与全面积的关系：$V=\frac{S_{\text{全}}}{6}\sqrt{\frac{S_{\text{全}}}{6\pi }}$

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 1992-三南-02 单-等边圆柱的体积
• 1991-上海-03 填-圆柱与球的体积比
• 1992-全国卷理-05 单-圆柱与球的表面积