1990-上海卷-12 单-充要条件的判定

本题导读

本题考查函数的奇偶性（定义与运算性质），以及充分条件与必要条件的判定。

📌【题干】

Question

（1990年上海卷） 函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的定义域均为 $\mathbf{R}$，“$f(x),g(x)$ 都是奇函数”是“$f(x)$ 与 $g(x)$ 的积是偶函数”的 ()

A. 必要条件但非充分条件　　　　　　　　　B. 充分条件但非必要条件 C. 充分必要条件　　　　　　　　　　　　　D. 非充分条件也非必要条件

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析充分性（前推后）：
   • 设命题 $P$ 为“$f(x),g(x)$ 都是奇函数”，记积函数为 $h(x)=f(x)\cdot g(x)$。
   • 根据奇函数定义有 $f(-x)=-f(x)$， $g(-x)=-g(x)$。
   • 验证 $h(-x)$ 与 $h(x)$ 的代数关系，若 $h(-x)=h(x)$，则充分性成立。
2. 分析必要性（后推前）：
   • 设命题 $Q$ 为“$f(x)$ 与 $g(x)$ 的积是偶函数”，即 $f(-x)\cdot g(-x)=f(x)\cdot g(x)$。
   • 思考当积为偶函数时，两个原函数是否必须都是奇函数。可以通过尝试构造“两个原函数都是偶函数”或“非奇非偶函数”的反例来进行方向否定。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

记两者的积函数为 $h(x)=f(x)\cdot g(x)$，其定义域亦为 $\mathbf{R}$。

1. 充分性判定（“前 $⟹$ 后”）： 已知 $f(x)$ 和 $g(x)$ 都是奇函数，根据奇函数的定义，对任意 $x\in \mathbf{R}$，都有： $f(-x)=-f(x),g(-x)=-g(x)$ 此时考查积函数 $h(-x)$ 的表达式： $h(-x)=f(-x)\cdot g(-x)=[-f(x)]\cdot [-g(x)]=f(x)\cdot g(x)=h(x)$ 由于 $h(-x)=h(x)$，说明积函数 $h(x)$ 必定是偶函数。 因此，“前 $⟹$ 后”成立，即充分性成立。

2. 必要性判定（“后 $⟹$ 前”）： 已知积函数 $h(x)=f(x)\cdot g(x)$ 是偶函数，即满足 $f(-x)\cdot g(-x)=f(x)\cdot g(x)$。 我们可以尝试构造反例： 设 $f(x)=x^2$ （偶函数）， $g(x)=x^2$ （偶函数）。 此时它们的积为 $h(x)=f(x)\cdot g(x)=x^4$。$h(-x)=(-x{)}^4=x^4=h(x)$，积函数 $h(x)$ 是偶函数。 但是，此时的 $f(x)$ 和 $g(x)$ 都是偶函数，层面上并不是奇函数。 这说明当“积是偶函数”时，“两个函数都是奇函数”这一结论不一定成立。 因此，“后 $⟹$ 前”不成立，即必要性不成立。

综上所述，“$f(x),g(x)$ 都是奇函数”是“$f(x)$ 与 $g(x)$ 的积是偶函数”的充分条件但非必要条件。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：奇偶函数的代数运算性质（“奇 $\times$ 奇 $=$ 偶”，“偶 $\times$ 偶 $=$ 偶”），四种充要条件的关系映射。
2. 核心方法：
   • 性质推导法：通过严谨的负号提取变形（$(-1)\times (-1)=1$）来确证正向充分逻辑。
   • 反例否定法：在处理必要性或充分性不成立的判定时，无需进行复杂的抽象代数推导，直接举出一个符合前件但不符合后件的简单初等函数（如本题中的 $x^2$），即可完成。
3. 避坑指南：
   • 双向逻辑混淆导致错选成 (C)：很多考生只记住了“奇乘以奇等于偶”，就想当然地认为要让积为偶，两个函数就非得是奇函数不可，从而忽略了“偶乘以偶也等于偶”的并列通路，导致错选。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于函数基本性质与简易逻辑相结合的综合基础题，直接源自教材中对“奇偶函数四则运算性质规律”的总结考查。
2. 结论推广：关于两个具有相同对称性质的函数 $f(x)$ 与 $g(x)$，其余弦、正弦特征性质在乘法运算下满足类似于实数系中正负号乘法的“异号为负（奇）、同号为正（偶）”的代数群规律：
   • 奇 $\times$ 奇 $=$ 偶；
   • 偶 $\times$ 偶 $=$ 偶；
   • 奇 $\times$ 偶 $=$ 奇。 因此，若已知“$f(x)\cdot g(x)$ 是偶函数”，则 $f(x)$ 与 $g(x)$ 既可以同为奇函数，也可以同为偶函数。这说明“同奇”或“同偶”是“积为偶”的充分非必要条件。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 02.01 常用逻辑用语

类题演练 (Links)

• 1992-三南-15 单-充要条件的判断
• 1992-上海-20 单-充要条件的判断
• 1991-三南-15 单-充分必要条件判断