1990-上海卷-11 单-圆的极坐标方程

本题导读

本题考查极坐标系的基础概念，以及极坐标与直角坐标的互化公式。

📌【题干】

Question

（1990年上海卷） 圆的半径是 1，圆心的极坐标是 $(1,0)$，则这个圆的极坐标方程是 ()

A. $\rho =\cos \theta$　　　　　　　B. $\rho =\sin \theta$　　　　　　　C. $\rho =2\cos \theta$　　　　　　　D. $\rho =2\sin \theta$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 解法一（直角坐标互化法）：
   • 将圆心的极坐标 $(1,0)$ 转换为直角坐标 $(x_0,y_0)=(1,0)$，半径 $R=1$。
   • 写出圆的标准直角坐标方程 $(x-1{)}^2+y^2=1$，展开并化简为一般式。
   • 利用极坐标与直角坐标的转换公式 $x=\rho \cos \theta ,y=\rho \sin \theta ,x^2+y^2={\rho }^2$ 将方程变回极坐标形式。
2. 解法二（几何直观法）：
   • 极坐标中 $(1,0)$ 表示圆心在极轴上，距离极点为 1。由于半径为 1，说明该圆通过极点 $O$，且极轴是该圆的一条直径。
   • 利用“直径所对的圆周角是直角”建立直角三角形，直接利用余弦投影关系写出方程。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

解法一（坐标互化法）： 已知圆心的极坐标为 $({\rho }_0,{\theta }_0)=(1,0)$。 转化为平面直角坐标： $x_0={\rho }_0\cos {\theta }_0=1\times \cos 0=1$ $y_0={\rho }_0\sin {\theta }_0=1\times \sin 0=0$ 即圆心在直角坐标系中的坐标为 $(1,0)$。

已知圆的半径 $R=1$，则该圆的直角坐标标准方程为： $(x-1{)}^2+y^2=1^2$ 展开多项式： $x^2-2x+1+y^2=1⟹x^2+y^2=2x$

引入极坐标互化公式： $\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2={\rho }^2\\ x=\rho \cos \theta \end{array}$ 代入直角坐标方程中，得： ${\rho }^2=2\rho \cos \theta$

因为 $\rho$ 表示极径，除极点外 $\rho \ne 0$，两边同除以 $\rho$，化简得到圆的极坐标方程为： $\rho =2\cos \theta$

解法二（几何直观法）： 因为圆心在极轴上，且距离极点为 1，半径为 1，所以该圆经过极点 $O(0,0)$，且圆的直径为 $2R=2$。极轴所在射线上的另一个端点（直径的另一端）极坐标为 $(2,0)$。 设 $M(\rho ,\theta )$ 为该圆上除极点外的任意一点，连接极点 $O$、点 $M$ 以及直径端点 $(2,0)$，组成一个三角形。 因为直径所对的圆周角是直角，所以该三角形是以 $M$ 为直角顶点的直角三角形。 根据直角三角形的边角关系，邻边等于斜边乘以余弦值： $\rho =2\cos \theta$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：极坐标与直角坐标的等价互化，特殊位置圆的极坐标方程特征模型。
2. 核心方法：直角坐标中转法。当对极坐标下的方程推导不熟悉时，先拆包成直角坐标方程，再打包回极坐标，这是最稳妥、通用的代数方法。
3. 避坑指南：
   • 混淆半径与直径导致常数项错选：考生容易直观地认为极坐标方程前的系数就是半径，从而误选 (A)。牢记圆过极点且圆心在极轴正半轴上时，方程形式为 $\rho =2R\cos \theta$，系数是直径。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于坐标系与参数方程大类中的基础概念考查题，直接源自教材中“圆的极坐标方程”章节的定理推导原型。
2. 结论推广：在极坐标系中，通过极点 $O$ 且半径为 $R$ 的圆，若圆心位于特殊的坐标轴向线上，其方程具有高度对称的通项规律：
   • 圆心在极轴正半轴上： $\rho =2R\cos \theta$
   • 圆心在极轴负半轴上： $\rho =-2R\cos \theta$
   • 圆心在 $\theta =\frac{\pi }{2}$ 射线上： $\rho =2R\sin \theta$
   • 圆心在 $\theta =\frac{3\pi }{2}$ 射线上： $\rho =-2R\sin \theta$

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.16 参数方程与复数变换
• 27.01 极坐标与直角坐标互化

类题演练 (Links)

• 1992-全国卷理-03 单-圆的极坐标方程
• 1992-上海-19 单-极坐标中直线与圆
• 1991-上海-10 填-圆的极坐标方程