1990-上海卷-07 填-圆锥的侧面积

本题导读

本题考查圆锥的几何性质，以及中截面的定义与相似比。

📌【题干】

Question

（1990年上海卷） 已知圆锥的中截面周长为 $a$，母线长为 $l$，则它的侧面积等于$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 剖析“中截面”几何特征：圆锥的中截面是指通过圆锥高线的中点且平行于底面的截面。该截面是一个圆。
2. 利用相似比建立联系：根据平行截面的性质，中截面圆与圆锥底面圆具有相似性。中截面圆的半径刚好是底面圆半径的 $\frac{1}{2}$。由于周长与半径成正比，中截面圆的周长 $a$ 也是底面圆周长 $C$ 的 $\frac{1}{2}$，即底面周长 $C=2a$。
3. 结合侧面积公式求解：圆柱或圆锥的展开面具有标准度量公式。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥的底面周长 $C$，半径等于母线长 $l$。因此侧面积公式可表示为 $S_{\text{侧}}=\frac{1}{2}C\cdot l$。将 $C=2a$ 代入即可。

✅【答案】

Success

$al$

✍【详细解析】

Abstract

解：设圆锥的底面圆半径为 $R$。 则圆锥的底面周长为： $C=2\pi R$

因为圆锥的中截面平行于底面，且通过高的中点，由三角形中位线定理或空间相似性质可知： 中截面圆的半径 $r$ 满足 $r=\frac{1}{2}R$。

因此，中截面圆的周长 $a$ 与底面周长 $C$ 的关系为： $a=2\pi r=2\pi \cdot \left(\frac{1}{2}R\right)=\pi R=\frac{1}{2}C$ 由此可得，圆锥的底面周长为： $C=2a$

已知圆锥的母线长为 $l$，圆锥侧面展开图是一个半径为 $l$、弧长等于底面周长 $C$ 的扇形。 根据扇形面积公式，圆锥的侧面积为： $S_{\text{侧}}=\frac{1}{2}C\cdot l$

将 $C=2a$ 代入上式中，得： $S_{\text{侧}}=\frac{1}{2}\cdot (2a)\cdot l=al$

填空答案为：$al$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：圆锥的侧面展开模型，截面与底面的相似比性质，扇形面积与弧长的相互转化。
2. 核心方法：整体代换法。在求解过程中，不需要把半径 $R$ 用含有 $\pi$ 的复杂分式彻底解出来，直接将底面周长 $C$ 作为一个整体用 $2a$ 替代代入扇形面积公式，可极大精简代数运算。
3. 避坑指南：
   • 混淆中截面周长与底面半径的关系：部分考生公式记忆不牢，将圆锥侧面积公式错记为 $S_{\text{侧}}=\pi Rl$。若此时将 $a=\pi R$ 关系混淆，容易在结果中多写或漏写 $\pi$。牢记 $S_{\text{侧}}=\frac{1}{2}Cl$ 这一基于扇形本源的表达式可以彻底规避此问题。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于立体几何中考查旋转体表面积计算的基础题，直接源自教材中“圆锥的侧面积与全面积”章节的课后性质拓展题，用以检验学生对空间基本量转换的熟练度。
2. 结论推广：对于任意圆锥，若平行于底面的截面将圆锥的高分成 $m:n$ 的两部分（从顶点算起），则该截面周长 $a$ 与底面周长 $C$ 的比值为 $\frac{m}{m+n}$。本题中 $m:n=1:1$ 属于其中截面的特例。通过此相似比例链，可将任意位置截面的局部周长或面积参数与整体侧面积、体积进行无缝推广互化。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 1991-上海-07 填-圆锥的侧面积
• 1992-上海-07 填-圆台的侧面积
• 1992-上海-24 解-圆锥的体积与二面角