1990-上海卷-04 填-圆柱的体积

本题导读

本题考查旋转体的结构特征（圆柱），以及圆柱的轴截面定义。

📌【题干】

Question

（1990年上海卷） 已知圆柱的轴截面是正方形，它的面积是 $4{\text{ cm}}^2$，那么这个圆柱的体积是$\underline{}$ ${\text{cm}}^3$.（结果中保留 $\pi$）

🔍【思路分析】

破题导航

1. 解析轴截面特征：圆柱的轴截面是经过圆柱轴线的截面，其形状为矩形。矩形的一组对边为圆柱的高 $h$，另一组对边为圆柱底面圆的直径 $2r$．
2. 构建基本元方程：已知该轴截面是正方形，说明高与底面直径相等，即 $h=2r$．利用正方形面积公式 $S=h\cdot 2r=4$ 求出 $r$ 和 $h$ 的值。
3. 计算目标体积：将求得的底面半径 $r$ 和高 $h$ 代入圆柱体积公式 $V=\pi r^{2}h$ 即可。

✅【答案】

Success

$2\pi {\text{cm}}^3$

✍【详细解析】

Abstract

解：设圆柱的底面圆半径为 $r$，高为 $h$． 根据圆柱的几何性质，其轴截面是一个长为 $2r$、宽为 $h$ 的矩形。

因为该轴截面是正方形，所以满足： $h=2r$

又已知轴截面的面积为 $4{\text{ cm}}^2$，即： $2r\cdot h=4$

将 $h=2r$ 代入面积公式中，得： $2r\cdot 2r=4⟹4r^2=4⟹r^2=1$ 因为半径 $r>0$，所以解得： $r=1\text{ cm}$ 从而圆柱的高为： $h=2r=2\text{ cm}$

将 $r=1$ 和 $h=2$ 代入圆柱的体积公式中： $V=\pi r^{2}h=\pi \times 1^2\times 2=2\pi {\text{ cm}}^3$

填空答案为：$2\pi$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：圆柱的轴截面构型与空间基本量的映射关系，空间几何体的体积计算。
2. 核心方法：空间元素代数化。将立体图形的隐含边界（轴截面长宽）翻译为底面半径 $r$ 与高 $h$ 的代数方程组。
3. 避坑指南：
   • 混淆底面直径与半径：正方形的边长等于圆柱的底面直径（$2r$）而非半径（$r$）。如果误将边长 $2\text{ cm}$ 当作半径 $r$，会算出 $V=\pi \times 2^2\times 2=8\pi$ 的错误结果。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于立体几何大类中对旋转体基本概念的考查，直接源自教材立体几何中“圆柱与圆锥”章节的课后定理应用题，旨在加深学生对立体截面图形几何要素的认识。
2. 结论推广：若一个圆柱的轴截面是边长为 $a$ 的正方形（此时称为等边圆柱），则该圆柱的特征基本量可直接推广为通用公式：
   • 底面半径： $r=\frac{a}{2}$，高： $h=a$；
   • 侧面积： $S_{\text{侧}}=2\pi rh=\pi a^2$（恰好是轴截面面积的 $\pi$ 倍）；
   • 体积： $V=\pi r^{2}h=\pi {\left(\frac{a}{2}\right)}^2\cdot a=\frac{\pi a^3}{4}$。 本题中将 $a=2$ 代入体积推广公式，直接得出 $V=\frac{\pi \cdot 2^3}{4}=2\pi$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 1992-三南-02 单-等边圆柱的体积
• 1991-上海-03 填-圆柱与球的体积比
• 1992-全国卷理-05 单-圆柱与球的表面积