1989-全国卷理-22 解-对数方程有解条件

本题导读

本题考查对数方程的求解与换底公式、函数的定义域与真数限制。核心在于分离参数法、等价转化法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（1989年全国卷(理)） 已知 $a>0$，$a\ne 1$，试求使方程 ${\log }_a(x-ak)={\log }_{a^2}(x^2-a^2)$ 有解的 $k$ 的取值范围.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 统一底数： 利用对数换底公式变形性质 ${\log }_{a^2}M=\frac{1}{2}{\log }_{a}M={\log }_a\sqrt{M}$，将原方程转化为同底数的对数方程。
2. 等价转化约束条件： 去掉对数符号时，必须保证原方程的真数全部大于 0，建立包含方程与不等式的等价条件组。
3. 因式化简与分离参数： 展开方程，消去高次项后转化为一元一次方程，解出 $x$ 关于 $a,k$ 的表达式，代入真数限制不等式中求解 $k$ 的范围。

✅【答案】

Success

$k\in (-\infty ,-1)\cup (0,1)$

✍【详细解析】

Abstract

原方程可变形为： ${\log }_{a^2}(x-ak{)}^2={\log }_{a^2}(x^2-a^2)$

根据对数函数的定义与有意义的充要条件，上述方程有解等价于以下不等式组有解： $\{\begin{array}{ll}x-ak>0& \text{(1)}\\ x^2-a^2>0& \text{(2)}\\ (x-ak{)}^2=x^2-a^2& \text{(3)}\end{array}$

条件化简： 由 ③ 式可知 $(x-ak{)}^2=x^2-a^2$。若条件 ① $x-ak>0$ 成立，则 $(x-ak{)}^2>0$ 恒成立，从而必有 $x^2-a^2>0$。 因此，条件 ② 可被条件 ① 和 ③ 完全包含。原方程有解的等价条件组化简为： $\{\begin{array}{ll}x-ak>0& \text{(1)}\\ (x-ak{)}^2=x^2-a^2& \text{(2)}\end{array}$

将方程 ② 展开： $x^2-2akx+a^2{k}^2=x^2-a^2$ 消去 $x^2$ 并移项整理得： $2akx=a^2{k}^2+a^2$

由于 $a>0$，方程两边同除以 $a$ 得： $2kx=a(k^2+1)\text{(3)}$

对参数 $k$ 进行分类讨论：

1. 当 $k=0$ 时，③ 式化为 $0=a$，与 $a>0$ 矛盾，方程无解。
2. 当 $k\ne 0$ 时，由 ③ 式可解得： $x=\frac{a(k^2+1)}{2k}$

将 $x$ 的表达式代入不等式 ① （即 $x>ak$）中： $\frac{a(k^2+1)}{2k}>ak$

由于 $a>0$，两边同除以 $a$ 得： $\frac{k^2+1}{2k}>k$ $\frac{k^2+1}{2k}-k>0$ $\frac{1-k^2}{2k}>0$

上述分式不等式等价于： $2k(1-k^2)>0⟹k(k^2-1)<0$ $k(k-1)(k+1)<0$

解得 $k$ 的取值范围为： $k<-1\text{或}0<k<1$

由于该区间天然满足 $k\ne 0$ 的前提条件，故无需剔除端点。

综上所述，使方程有解的 $k$ 的取值范围是 $(-\infty ,-1)\cup (0,1)$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点： 对数方程的等价转化，真数具备正值约束的判定。
2. 核心方法： 冗余条件消除法。利用 $(x-ak{)}^2=x^2-a^2$ 结构中完全平方式的非负性，直接省去对 $x^2-a^2>0$ 的复杂求解，降低代数运算量。
3. 避坑指南： - 容易忽略对数函数本身的定义域限制（真数大于0），若直接去掉对数符号求解方程，会导致最终范围扩大。
   • 分式不等式求解时需注意分母 $k$ 的正负号对不等号方向的影响，应转化为乘积形式进行求解。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：本题源于对数方程与含参分类讨论的交汇，核心是“定义域优先”原则——将对数方程转化为等价混合组，再借 $x-ak>0$ 吸收 $x^2-a^2>0$，体现化归与等价转化思想。

结论推广：方程 ${\log }_a(x-ak)={\log }_{a^2}(x^2-a^2)$ 有解等价于分式不等式 $\frac{1-k^2}{2k}>0$，即 $k(k^2-1)<0$。一般地，形如 ${\log }_{a}f(x)={\log }_{a^2}g(x)$ 的方程，可统一化为 $f(x)>0$ 且 $f^2(x)=g(x)$，其解集由参数不等式刻画。

方法推广：处理含参对数方程应坚持“定义域先行、等价转化、分类讨论”三步法；本题中由 $f(x)>0$ 自动保证 $g(x)>0$ 的观察，是简化讨论的关键技巧，可迁移至同类含参根式、分式方程问题。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.03 专题-恒成立问题

类题演练 (Links)

• 1990-全国文-24 解-含参对数不等式
• 1991-上海-23 解-含参对数不等式的求解
• 1992-全国文-07 单-对数不等式与底数