1989-全国卷理-19 解-三角恒等式证明

本题导读

本题考查同角三角函数基本关系（弦切互化）、两角差的正弦公式。核心在于左边化弦推右边法（推荐）、左右通分汇合法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（1989年全国卷(理)） 证明：$\tan \frac{3x}{2}-\tan \frac{x}{2}=\frac{2\sin x}{\cos x+\cos 2x}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 基本变换（弦切互化）： 左边含有半角正切 $\tan \frac{3x}{2}$ 和 $\tan \frac{x}{2}$，右边全是正弦和余弦。通常选择“从左边推向右边”，首先利用 $\tan \theta =\frac{\sin \theta }{\cos \theta }$ 将左边统一转化为弦函数。
2. 分子通分化简： 对左边进行通分，分子会出现 $\sin \frac{3x}{2}\cos \frac{x}{2}-\cos \frac{3x}{2}\sin \frac{x}{2}$ 的结构，这正好符合两角差的正弦公式 $\sin (\alpha -\beta )$，从而可以将角度降为单角 $x$。
3. 分母和差化积： 通分后的分母为 $\cos \frac{3x}{2}\cos \frac{x}{2}$。观察右边的分母 $\cos x+\cos 2x$，可以对右边分母使用和差化积公式，或者将左边分母利用积化和差公式展开，使两边的结构最终达成一致。

✅【答案】

Success

证明见解析

✍【详细解析】

Abstract

证明：

从等式左边出发进行变形： $\text{左边}=\tan \frac{3x}{2}-\tan \frac{x}{2}$

利用弦切互化公式，将正切化为正弦与余弦之比： $\text{左边}=\frac{\sin \frac{3x}{2}}{\cos \frac{3x}{2}}-\frac{\sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2}}$

对分式进行同分母通分： $\text{左边}=\frac{\sin \frac{3x}{2}\cos \frac{x}{2}-\cos \frac{3x}{2}\sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{3x}{2}\cos \frac{x}{2}}$

分子符合两角差的正弦公式 $\sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \sin \beta =\sin (\alpha -\beta )$，代入可得： $\text{左边}=\frac{\sin \left(\frac{3x}{2}-\frac{x}{2}\right)}{\cos \frac{3x}{2}\cos \frac{x}{2}}=\frac{\sin x}{\cos \frac{3x}{2}\cos \frac{x}{2}}$

分子分母同时乘以 2，以便于构造出更高级的三角公式结构： $\text{左边}=\frac{2\sin x}{2\cos \frac{3x}{2}\cos \frac{x}{2}}\text{(1)}$

下面对等式的右边进行变形，处理其分母。 根据余弦的和差化积公式 $\cos \theta +\cos \varphi =2\cos \frac{\theta +\varphi }{2}\cos \frac{\theta -\varphi }{2}$，对右边分母进行转化： $\cos x+\cos 2x=2\cos \frac{2x+x}{2}\cos \frac{2x-x}{2}=2\cos \frac{3x}{2}\cos \frac{x}{2}$

将其代入等式右边： $\text{右边}=\frac{2\sin x}{2\cos \frac{3x}{2}\cos \frac{x}{2}}\text{(2)}$

由 ① 和 ② 可得： $\text{左边}=\text{右边}$

原命题得证。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点： 三角恒等变换中的弦切互化策略，两角差的正弦公式及和差化积公式。
2. 核心方法： * 切化弦法： 在三角恒等式中，当切函数（$\tan ,\cot$）与弦函数（$\sin ,\cos$）混合出现时，“切化弦”是打破僵局、归拢基本量的最普适方法。
   • 公式逆用与变形： 熟练掌握 $\sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \sin \beta =\sin (\alpha -\beta )$ 这一公式的逆向聚拢化简。
3. 避坑指南： * 使用半角公式展开。部分学生看到 $\frac{x}{2}$ 和 $\frac{3x}{2}$ 便急于用万能公式或根号半角公式展开，这会导致算式极其臃肿且难以因式分解。必须从宏观角度观察两角“相减”能退化为单角 $x$ 的潜在逻辑。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源： 本题属于经典的三角函数证明题，主要考查学生对基础恒等变换公式之间穿梭联动的熟练度，是高一三角学章节必修的代表性基础大题。
2. 结论推广： 本题的结论可以进一步被抽象和推广。对于任意角度 $\alpha$ 和 $\beta$，通过相同的通分与公式变换，均可以得到如下通用恒等式： $\tan \alpha -\tan \beta =\frac{\sin (\alpha -\beta )}{\cos \alpha \cos \beta }$ 在本题中，若令 $\alpha =\frac{3x}{2},\beta =\frac{x}{2}$，则 $\alpha -\beta =x$。代入该通用恒等式，即可在一秒内直接输出化简中间体 $\frac{\sin x}{\cos \frac{3x}{2}\cos \frac{x}{2}}$，随后再配合倍角或和差化积即可完成证明。该通用推广在微积分处理三角函数求导与积分时是非常有用的变形工具。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.01 两角和与差及辅助角公式

类题演练 (Links)

• 1991-上海-15 单-三角恒等式的真假判断
• 1991-全国文-04 单-三角恒等变形与周期
• 1992-上海-21 解-两角和与反三角函数