1989-全国卷理-18 填-圆柱中线的距离

本题导读

本题考查圆柱的结构特征，以及异面直线间的距离。

📌【题干】

Question

（1989年全国卷(理)） 如图，已知圆柱的底面半径是 3，高是 4，$A$、$B$ 两点分别在两底面的圆周上，并且 $AB=5$，那么直线 $AB$ 与轴 $O{O}^{\prime }$ 之间的距离等于 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 几何投影： 轴 $O{O}^{\prime }$ 垂直于两底面。过点 $A$ 作圆柱的母线 $AC$ 交下底面圆周于点 $C$，连接 $BC$。由于母线 $AC\parallel O{O}^{\prime }$，直线 $AB$ 与 $O{O}^{\prime }$ 的距离等于轴 $O{O}^{\prime }$ 到平面 $ABC$ 的距离。
2. 构筑直角三角形： 在 $\text{Rt}△ABC$ 中，已知斜边 $AB=5$，高（母线长）$AC=4$，利用勾股定理求出下底面的弦长 $BC$。
3. 转化平面问题： 直线 $AB$ 与轴 $O{O}^{\prime }$ 均为空间直线。由于 $O{O}^{\prime }\parallel AC$，且平面 $ABC$ 与轴 $O{O}^{\prime }$ 平行，轴心 $O^{\prime }$ 到弦 $BC$ 的垂直距离（即弦心距）就是直线 $AB$ 与轴 $O{O}^{\prime }$ 之间的距离。在下底面圆 $O^{\prime }$ 中利用半径、弦长、弦心距组成的直角三角形求解。

✅【答案】

Success

$\frac{3\sqrt{3}}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

过上底面圆周上的点 $A$ 作圆柱的母线 $AC$ 交下底面圆周于点 $C$，连接 $BC$ 和 $O^{\prime }C$。

根据圆柱的性质，母线 $AC$ 垂直于下底面，且 $AC=h=4$。 所以 $△ABC$ 是以 $\angle ACB$ 为直角的直角三角形。 在 $\text{Rt}△ABC$ 中，由勾股定理得下底面弦 $BC$ 的长为： $BC=\sqrt{A{B}^2-A{C}^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$

因为母线 $AC\parallel O{O}^{\prime }$，所以轴 $O{O}^{\prime }$ 平行于平面 $ABC$。 由此可知，直线 $AB$ 与轴 $O{O}^{\prime }$ 之间的距离，等于下底面圆心 $O^{\prime }$ 到平面 $ABC$ 的距离。 又因为 $AC\perp \text{底面}⟹AC\perp \text{底面内任意直线}$，只要过 $O^{\prime }$ 作 $O^{\prime }D\perp BC$ 于 $D$，则 $O^{\prime }D$ 同时垂直于 $BC$ 和 $AC$，即 $O^{\prime }D\perp \text{平面}ABC$。 因此，弦心距 $O^{\prime }D$ 即为所求的异面直线 $AB$ 与 $O{O}^{\prime }$ 之间的距离。

在下底面圆 $O^{\prime }$ 中， $BC$ 是长度为 3 的弦，$O^{\prime }D\perp BC$，根据垂径定理， $D$ 是 $BC$ 的中点： $CD=\frac{1}{2}BC=\frac{3}{2}$

连接 $O^{\prime }C$，则 $O^{\prime }C$ 为底面圆的半径 $R=3$。 在 $\text{Rt}△O^{\prime }DC$ 中，由勾股定理求弦心距 $O^{\prime }D$： $O^{\prime }D=\sqrt{O^{\prime }{C}^2-C{D}^2}=\sqrt{3^2-{\left(\frac{3}{2}\right)}^2}=\sqrt{9-\frac{9}{4}}=\sqrt{\frac{27}{4}}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$

答案：$\frac{3\sqrt{3}}{2}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点： 空间异面直线距离的定义，圆柱结构中的线面平行与转化。
2. 核心方法： * 平移转化法： 通过构建包含一条直线的平面且使该平面与另一条直线平行，将“线线距离”转化为标准的“点面距离”或“平面几何面内点线距离”。
3. 避坑指南： * 错把 $BC$ 当作距离。必须建立清晰的空间立体透视， $AB$ 与 $O{O}^{\prime }$ 的公垂线段在底面的射影是圆心到弦的距离（弦心距），而非弦长本身。
   • 计算粗心。在最后一步勾股定理计算中，注意分母平方后的通分化简。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源： 本题属于立体几何中关于旋转体度量考查的传统中档填空题，源于教材中对异面直线距离定义的深化，是将三维空间关系降维至二维平面（底面圆）进行解析的模范样板。
2. 结论推广： 设圆柱底面半径为 $R$，高为 $h$，一跨越两底面的线段长为 $L$。则该直线与圆柱中心主轴之间的异面直线距离 $d$ 满足通式： $d=\sqrt{R^2-\frac{L^2-h^2}{4}}$ 本题代入 $R=3,h=4,L=5$，得 $d=\sqrt{3^2-\frac{25-16}{4}}=\sqrt{9-\frac{9}{4}}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$。该通式可秒解所有圆柱内切斜线与轴线的距离问题。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系

类题演练 (Links)

• 1992-全国文-14 单-异面直线所成的角
• 1992-上海-10 填-异面直线所成的角
• 1991-全国文-05 单-异面直线的计数