1989-全国卷理-15 填-反函数的定义域

本题导读

本题考查反函数的概念与性质，以及函数的值域。

📌【题干】

Question

（1989年全国卷(理)） 函数 $y=\frac{{\text{e}}^x-1}{{\text{e}}^x+1}$ 的反函数的定义域是$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 基本性质转化： 设原函数为 $y=f(x)$，其定义域为 $D$，值域为 $R$；其反函数为 $y=f^{-1}(x)$，定义域为 $D^{\prime }$。根据反函数的定义，有 $D^{\prime }=R$。即：求反函数的定义域，就是求原函数的值域。
2. 方法一（原函数值域法）： 对原函数解析式进行分离常数变形，化为 $y=1-\frac{2}{{\text{e}}^x+1}$ 的形式，利用指数函数 ${\text{e}}^x>0$ 的取值范围，逐步推导或放缩出 $y$ 的取值区间。
3. 方法二（反解代数法）： 直接从原方程中反解出 $x=g(y)$，再根据对数函数的真数限制（真数大于0）来确定 $y$ 的取值范围，最后将自变量改写为 $x$。

✅【答案】

Success

$(-1,1)$

✍【详细解析】

Abstract

方法一：原函数值域法（最简捷） 原函数的定义域为 $\mathbb{R}$（因为分母 ${\text{e}}^x+1\ge 1>0$ 恒成立）。 将原函数的解析式进行分子分离常数化简： $y=\frac{{\text{e}}^x-1}{{\text{e}}^x+1}=\frac{({\text{e}}^x+1)-2}{{\text{e}}^x+1}=1-\frac{2}{{\text{e}}^x+1}$

因为对于任意实数 $x$，指数函数均满足： ${\text{e}}^x>0$

两边同时加上 1 得： ${\text{e}}^x+1>1$

由于两边均为正数，取倒数则不等号方向改变： $0<\frac{1}{{\text{e}}^x+1}<1$

各项同时乘以 $-2$： $-2<-\frac{2}{{\text{e}}^x+1}<0$

各项同时加上 1 得： $1-2<1-\frac{2}{{\text{e}}^x+1}<1+0⟹-1<y<1$

即原函数的值域为 $(-1,1)$。 根据反函数的性质，原函数的值域就是其反函数的定义域。 题目要求书写形式为“定义域（即集合或区间形式）”。

方法二：反解代数法 从原方程中反解出 $x$： $y({\text{e}}^x+1)={\text{e}}^x-1⟹y{\text{e}}^x+y={\text{e}}^x-1$ 移项将含 ${\text{e}}^x$ 的项归拢到一侧： $1+y={\text{e}}^x-y{\text{e}}^x⟹{\text{e}}^x(1-y)=1+y$

当 $1-y\ne 0$ 即 $y\ne 1$ 时，两边同除以 $1-y$： ${\text{e}}^x=\frac{1+y}{1-y}$

两边取自然对数： $x=\ln \left(\frac{1+y}{1-y}\right)$

要使该反函数有意义，对数的真数必须严格大于 0： $\frac{1+y}{1-y}>0⟹(1+y)(1-y)>0⟹(y+1)(y-1)<0$ 解得： $-1<y<1$

习惯上将反函数的自变量写为 $x$，故其反函数的定义域为 $(-1,1)$。

答案：$\{x\mid -1<x<1\}$ （或 $(-1,1)$）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点： 反函数与原函数空间几何映射的对偶关系（值域与定义域互换），指数式分式值域的范围控制。
2. 核心方法： * 性质借道法： 牢记“求反函数的定义域不等于必须求出反函数解析式”，直接转攻原函数值域，能够规避繁琐的对数反解变形。
3. 避坑指南： * 格式非集合化： 填空题要求写“定义域”，若直接写 $-1<x<1$ 属于格式不规范，严格意义上须写成区间 $(-1,1)$ 或集合 $\{x\mid -1<x<1\}$。
   • 两端点开闭误判： 在放缩 ${\text{e}}^x>0$ 时，由于 ${\text{e}}^x$ 永远不可能等于 0，所以 ${\text{e}}^x+1$ 永远不可能等于 1，故两端边界 $-1$ 和 $1$ 均取不到，必须是开区间。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源： 本题属于经典的基础初等函数综合题。在高等数学中，该原函数 $y=\frac{{\text{e}}^x-1}{{\text{e}}^x+1}$ 经分子分母同除以 ${\text{e}}^{\frac{x}{2}}$ 后，可变形为： $y=\frac{{\text{e}}^{\frac{x}{2}}-{\text{e}}^{-\frac{x}{2}}}{{\text{e}}^{\frac{x}{2}}+{\text{e}}^{-\frac{x}{2}}}=\tanh \left(\frac{x}{2}\right)$ 这正是大名鼎鼎的双曲正切函数（Hyperbolic Tangent）。双曲正切函数的值域天然被限制在 $(-1,1)$ 内（其在神经网络中被广泛用作激活函数），本题本质上就是在考查双曲三角函数的基本有界性。
2. 结论推广： 对于任意形如 $f(x)=\frac{A{\text{e}}^x+B}{C{\text{e}}^x+D}$ （其中 $CD>0,AD-BC\ne 0$）的指数分数线性变换，其在实数集 $\mathbb{R}$ 上的值域（即反函数的定义域）恒为一个开区间，其两个边界端点分别由 $x\to -\infty$ 和 $x\to +\infty$ 时的极限水平渐近线决定： $D^{\prime }=\left(\min \left(\frac{B}{D},\frac{A}{C}\right),\max \left(\frac{B}{D},\frac{A}{C}\right)\right)$ 本题中 $A=1,B=-1,C=1,D=1$，对应 $\frac{B}{D}=-1,\frac{A}{C}=1$，故定义域直接锁定为 $(-1,1)$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 1991-上海-01 填-指数函数的反函数
• 1992-三南-04 单-对数函数的反函数
• 1991-全国文-09 单-分式函数的反函数