1989-全国卷理-07 单-复数与共轭的模

本题导读

本题考查复数的代数形式，以及共轭复数与复数的模。

📌【题干】

Question

（1989年全国卷(理)） 设复数 $z$ 满足关系式 $z+|\bar{z}|=2+\text{i}$，那么 $z$ 等于 ()

A. $-\frac{3}{4}+\text{i}$　　　　　　B. $\frac{3}{4}-\text{i}$　　　　　　C. $-\frac{3}{4}-\text{i}$　　　　　　D. $\frac{3}{4}+\text{i}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 基本量代换： 设 $z=x+y\text{i}$ ($x,y\in \mathbb{R}$)，则其共轭复数为 $\bar{z}=x-y\text{i}$。
2. 利用模的性质： 牢记共轭复数的模等于原复数的模，即 $|\bar{z}|=|z|=\sqrt{x^2+y^2}$，它是一个实数。
3. 复数相等列方程： 将代数式代入原方程，分离出左边的实部（$x+\sqrt{x^2+y^2}$）与虚部（$y$）。根据左右两边实部等于实部、虚部等于虚部建立方程组求解。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

方法一：代数方程法 设 $z=x+y\text{i}$ ($x,y\in \mathbb{R}$)。 根据共轭复数的模的性质，有： $|\bar{z}|=|z|=\sqrt{x^2+y^2}$

将 $z$ 与 $|\bar{z}|$ 代入已知关系式 $z+|\bar{z}|=2+\text{i}$ 得： $(x+y\text{i})+\sqrt{x^2+y^2}=2+\text{i}$ 将左端按照实部与虚部重新组合： $\left(x+\sqrt{x^2+y^2}\right)+y\text{i}=2+\text{i}$

根据两个复数相等的充要条件（实部与虚部对应相等），可列出方程组： $\{\begin{array}{ll}x+\sqrt{x^2+y^2}=2& \text{(1)}\\ y=1& \text{(2)}\end{array}$

将 ② 代入 ① 中得： $x+\sqrt{x^2+1}=2⟹\sqrt{x^2+1}=2-x$

两边平方（注意需满足 $2-x\ge 0⟹x\le 2$）： $x^2+1=(2-x{)}^2$ $x^2+1=4-4x+x^2$ $4x=3⟹x=\frac{3}{4}$

经检验，$x=\frac{3}{4}$ 满足 $x\le 2$，是该方程的解。 所以，复数 $z=\frac{3}{4}+\text{i}$。

方法二：选项代入检验法法） 由原方程 $z+|\bar{z}|=2+\text{i}$ 可知，右侧虚部为 $1\cdot \text{i}$。 由于 $|\bar{z}|$ 是实数，不贡献虚部，因此左侧的虚部完全由 $z$ 自身的虚部决定，即 $z$ 的虚部必须为 1。 对比选项：

• B、C 的虚部为 $-1$，排除；
• A、D 的虚部为 $1$。

将 D 选项 $z=\frac{3}{4}+\text{i}$ 代入左边： $|\bar{z}|=|z|=\sqrt{{\left(\frac{3}{4}\right)}^2+1^2}=\sqrt{\frac{9}{16}+1}=\sqrt{\frac{25}{16}}=\frac{5}{4}$ $z+|\bar{z}|=\left(\frac{3}{4}+\text{i}\right)+\frac{5}{4}=\left(\frac{3}{4}+\frac{5}{4}\right)+\text{i}=2+\text{i}$ 完全符合题意。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点： 复数的模与共轭复数的基本运算，复数方程的实虚部分离法。
2. 核心方法： * 虚部锁定法： 识别出 $|\bar{z}|$ 为纯实数，是快速排除 B、C 干扰项、大幅提高解题速度的突破口。
3. 避坑指南： * 误认为 $|\bar{z}|=x-y\text{i}$。必须明确复数的模 $|z|$ 或 $|\bar{z}|$ 计算出来的结果是一个非负实数，不能带有虚数单位 $\text{i}$。
   • 无理方程解的范围。在去掉根号平方时，注意隐含条件 $2-x\ge 0$，本题虽未产生增根，但在解答题中该步骤属于核心得分点。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源： 本题属于复数代数运算的传统典型题型，源于教材对复数多维基本量（模、共轭、复数相等）相互制约关系的综合考查。
2. 结论推广： 在复数范围内，形如 $z+A|z|=\alpha +\beta \text{i}$ （其中 $A\in \mathbb{R}$，$\alpha ,\beta \in \mathbb{R}$）的方程：
   • 虚部直接锁定：$\text{Im}(z)=\beta$；
   • 实部方程：$x+A\sqrt{x^2+{\beta }^2}=\alpha$。通过这一固定的实虚部解离法则，可以秒解所有该结构的复数方程。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 1992-上海-05 填-复数的乘方
• 1991-三南-09 单-复数的辐角主值
• 1992-全国卷理-15 单-复数模的最值