1989-全国卷理-04 单-反三角函数求值

本题导读

本题考查反三角函数定义，以及两角差的余弦公式。

📌【题干】

Question

（1989年全国卷(理)） $\cos \left[\arcsin \left(-\frac{4}{5}\right)-\arccos \left(-\frac{3}{5}\right)\right]$ 的值等于 ()

A. $-1$　　　　　　　　B. $-\frac{7}{25}$　　　　　　　　C. $\frac{7}{25}$　　　　　　　　D. $-\frac{\sqrt{10}}{5}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 角度换元： 设 $\alpha =\arcsin \left(-\frac{4}{5}\right)$， $\beta =\arccos \left(-\frac{3}{5}\right)$。原式转化为求 $\cos (\alpha -\beta )$ 的值。
2. 确定三角函数值与象限： - 根据反正弦函数的值域 $\left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$，由 $\sin \alpha =-\frac{4}{5}<0$ 可知 $\alpha$ 在第四象限，从而求出 $\cos \alpha >0$。
   • 根据反余弦函数的值域 $[0,\pi ]$，由 $\cos \beta =-\frac{3}{5}<0$ 可知 $\beta$ 在第二象限，从而求出 $\sin \beta >0$。
3. 公式展开计算： 利用两角差的余弦公式 $\cos (\alpha -\beta )=\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta$ 代入求值。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

设 $\alpha =\arcsin \left(-\frac{4}{5}\right)$， $\beta =\arccos \left(-\frac{3}{5}\right)$。

由反三角函数的定义可知： $\sin \alpha =-\frac{4}{5},\alpha \in \left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$ 因为 $\sin \alpha <0$，所以 $\alpha \in \left(-\frac{\pi }{2},0\right)$（第四象限），则 $\cos \alpha >0$： $\cos \alpha =\sqrt{1-{\sin }^2\alpha }=\sqrt{1-{\left(-\frac{4}{5}\right)}^2}=\frac{3}{5}$

同理： $\cos \beta =-\frac{3}{5},\beta \in [0,\pi ]$ 因为 $\cos \beta <0$，所以 $\beta \in \left(\frac{\pi }{2},\pi \right]$（第二象限），则 $\sin \beta >0$： $\sin \beta =\sqrt{1-{\cos }^2\beta }=\sqrt{1-{\left(-\frac{3}{5}\right)}^2}=\frac{4}{5}$

原式可化为 $\cos (\alpha -\beta )$，利用两角差的余弦公式展开得： $\cos (\alpha -\beta )=\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta$

将求得的各三角函数值代入： $\cos (\alpha -\beta )=\left(\frac{3}{5}\right)\times \left(-\frac{3}{5}\right)+\left(-\frac{4}{5}\right)\times \left(\frac{4}{5}\right)$ $=-\frac{9}{25}-\frac{16}{25}=-\frac{25}{25}=-1$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点： 反三角函数的定义域与值域限定，两角差的余弦公式。
2. 核心方法： * 换元思想： 牢记“反三角函数本质是个角”，通过设 $\alpha ,\beta$ 将复杂的反三角解析式剥离为易处理的初等三角函数。
3. 避坑指南： * 忽视反三角函数的值域。确定 $\cos \alpha$ 和 $\sin \beta$ 的符号时，必须严格通过 $\alpha \in \left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$ 与 $\beta \in [0,\pi ]$ 判定，错判符号会导致结果算成 $\pm \frac{7}{25}$。
   • 错记两角差的余弦公式。注意 $\cos (\alpha -\beta )$ 展开中间是加号（$+$）而不是减号（$-$）。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源： 本题属于反三角函数与三角恒等变换交汇的经典大题，旨在深化对反函数多值性压缩（即单值主值区间）的深刻理解，在微积分积分学（如三角代换积分法）中是极重要的化简基本功。
2. 结论推广： 观察本题的数值可以发现一个有趣的几何巧合：因为 $\sin \alpha =-\frac{4}{5}$ 且 $\cos \beta =-\frac{3}{5}$，结合区间性质，实际上有 $\sin \alpha =\cos \beta -\frac{1}{5}$ 等关系。其实若进一步诱导化简，由于 $\cos \alpha =\frac{3}{5}$， $\sin \beta =\frac{4}{5}$，可看出 $\sin \alpha =-\sin \beta$ 且 $\cos \alpha =-\cos \beta$，这意味着两角在单位圆上关于原点对称，即 $\alpha -\beta =-\pi$（或相差 $\pi$ 的奇数倍）。因此，其差的余弦值 $\cos (\alpha -\beta )=\cos (-\pi )=-1$ 具有必然性。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 07.02 三角函数的定义与诱导公式

类题演练 (Links)

• 1992-三南-03 单-反三角函数的求值
• 1992-上海-21 解-两角和与反三角函数
• 1990-广东理-11 单-反三角函数与奇偶性