1988-广东理-24 单-三角恒等式的化简求值

本题导读

本题考查 $\sqrt{1+\sin 10}$ 的化简求值，注意角度为弧度。

📌【题干】

Question

（1988年广东卷(理)） $\sqrt{1+\sin 10}=$()

A. $\cos 5+\sin 5$　　　　　　　　B. $-\cos 5-\sin 5$　　　　　　　　C. $\sqrt{2}\cos 5$　　　　　　　　D. $\cos 5-\sin 5$

🔍【思路分析】

破题导航

$1+\sin 10=(\sin 5+\cos 5{)}^2$，$5$ 弧度在第四象限，$\sin 5+\cos 5<0$。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

$1+\sin 10={\sin }^{2}5+{\cos }^{2}5+2\sin 5\cos 5=(\sin 5+\cos 5{)}^2$。因 $5$ 弧度在第四象限（$\sin 5<0$，$\cos 5>0$，$|\sin 5|>|\cos 5|$），故 $\sin 5+\cos 5<0$。于是 $\sqrt{1+\sin 10}=|\sin 5+\cos 5|=-(\sin 5+\cos 5)=-\cos 5-\sin 5$。选 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三角恒等式的化简求值

核心方法：$\sqrt{1+\sin 10}=\sqrt{(\sin 5+\cos 5{)}^2}=|\sin 5+\cos 5|$，$5$ 弧度在第四象限，$\sin 5+\cos 5<0$，故 $=-\cos 5-\sin 5$。

避坑指南：角度为弧度（无度号），$5$ 弧度 $\sin 5<0$、$|\sin 5|>|\cos 5|$，$\sin 5+\cos 5<0$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：三角化简求值。

结论推广：配完全平方。

方法推广：符号判断。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.02 三角函数的定义与诱导公式
• 10.02 倍角、降幂与升幂公式

类题演练 (Links)

• 1989-广东理-04 单-诱导公式求值
• 1989-上海-08 填-半角公式求值
• 1989-广东理-27 填-和差化积求值