1986-广东理-12 单-三角式开方化简

本题导读

本题考查三角式的开方化简。

📌【题干】

Question

（1986年广东卷(理)） 若 $\theta \in (\frac{5\pi }{4},\frac{3\pi }{2})$，则 $\sqrt{1-\sin 2\theta }=$()

A. $\cos \theta -\sin \theta$

B. $\sin \theta +\cos \theta$

C. $\sin \theta -\cos \theta$

D. $-\cos \theta -\sin \theta$

E. $|\cos \theta |-|\sin \theta |$

🔍【思路分析】

破题导航

$1-\sin 2\theta =(\sin \theta -\cos \theta {)}^2$，再判象限定号。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

$\sqrt{1-\sin 2\theta }=\sqrt{{\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta -2\sin \theta \cos \theta }=\sqrt{(\sin \theta -\cos \theta {)}^2}=|\sin \theta -\cos \theta |$。$\theta \in (\frac{5\pi }{4},\frac{3\pi }{2})$ 在第三象限，$\sin \theta <0$、$\cos \theta <0$，且 $|\cos \theta |>|\sin \theta |$（$\theta$ 接近 $\frac{3\pi }{2}$），故 $\sin \theta <\cos \theta$，$\sin \theta -\cos \theta <0$，$|\sin \theta -\cos \theta |=\cos \theta -\sin \theta$。故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三角式开方化简

核心方法：$\sqrt{1-\sin 2\theta }=\sqrt{(\sin \theta -\cos \theta {)}^2}=|\sin \theta -\cos \theta |$。

避坑指南：$\theta \in (\frac{5\pi }{4},\frac{3\pi }{2})$，$\sin \theta <\cos \theta$，$=\cos \theta -\sin \theta$，选 A。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：根式化简。

结论推广：$\sqrt{x^2}=|x|$。

方法推广：判象限定号。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.03 积和转化与半角公式

类题演练 (Links)

• 1988-广东理-24 单-三角恒等式的化简求值
• 2002-新课标文-14 填-二倍角求余切