1988-广东理-20 单-条件等式的最值

本题导读

本题考查在 $x^2+y^2=1$ 条件下求 $(1-xy)(1+xy)$ 的最值。

📌【题干】

Question

（1988年广东卷(理)） 如果实数 $x,y$ 满足 $x^2+y^2=1$，那么 $(1-xy)(1+xy)$ 有()

A. 最小值 $\frac{1}{2}$ 和最大值 $1$　　　　　　　　　　B. 最大值 $1$ 和最小值 $\frac{3}{4}$ C. 最小值 $\frac{3}{4}$ 而无最大值　　　　　　　　　　D. 最大值 $1$ 而无最小值

🔍【思路分析】

破题导航

令 $x=\cos \theta ,y=\sin \theta$，$(1-xy)(1+xy)=1-x^2{y}^2=1-\frac{1}{4}{\sin }^{2}2\theta$。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

$(1-xy)(1+xy)=1-x^2{y}^2$。令 $x=\cos \theta$，$y=\sin \theta$，则 $x^2{y}^2={\cos }^2\theta {\sin }^2\theta =\frac{1}{4}{\sin }^{2}2\theta \in [0,\frac{1}{4}]$。故 $1-x^2{y}^2\in [\frac{3}{4},1]$，最大值为 $1$，最小值为 $\frac{3}{4}$。选 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：条件等式的最值

核心方法：$1-x^2{y}^2=1-{\sin }^2\theta {\cos }^2\theta =1-\frac{1}{4}{\sin }^{2}2\theta$，最大 $1$ 最小 $\frac{3}{4}$。

避坑指南：令 $x=\cos \theta ,y=\sin \theta$，$x^2{y}^2\in [0,\frac{1}{4}]$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：条件最值。

结论推广：三角换元。

方法推广：$x^2{y}^2$ 范围。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

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