1977-浙江-11 解-轮换式条件证明

本题导读

本题考查条件等式的证明。核心在于连等式两两相减提公因式，得到三个轮换式后相乘约尽。

📌【题干】

Question

（1977年浙江卷） 设 $x$，$y$，$z$ 为三个互不相等的实数，且 $x+\frac{1}{y}=y+\frac{1}{z}=z+\frac{1}{x}$，求证：$x^2{y}^2{z}^2=1$.

🔍【思路分析】

破题导航

$x+\frac{1}{y}=y+\frac{1}{z}$ 相减得 $yz=\frac{y-z}{x-y}$；轮换得 $xy=\frac{x-y}{z-x}$、$zx=\frac{z-x}{y-z}$；三式相乘即 $x^2{y}^2{z}^2=1$。

✅【答案】

Success

证明见解析

✍【详细解析】

Abstract

由 $x+\frac{1}{y}=y+\frac{1}{z}$，得 $x-y=\frac{1}{z}-\frac{1}{y}=\frac{y-z}{yz}$，即 $yz=\frac{y-z}{x-y}$。同理可得 $xy=\frac{x-y}{z-x}$，$zx=\frac{z-x}{y-z}$。所以 $yz\cdot xy\cdot zx=\frac{y-z}{x-y}\cdot \frac{x-y}{z-x}\cdot \frac{z-x}{y-z}=1$。即 $x^2{y}^2{z}^2=1$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：轮换式条件证明

核心方法：连等式两两相减

避坑指南：相邻两式相减提公因式，三式轮换相乘约尽

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：证明

结论推广：$x^2{y}^2{z}^2=1$

方法推广：两两相减轮换相乘

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 04.01 指数与对数运算

类题演练 (Links)

• 2004-全国卷I文-12 单-三平方和与对称式最值
• 1988-广东理-20 单-条件等式的最值