1988-广东文-34 解-直线与圆、双曲线的位置关系

本题导读

本题考查直线与圆相切、与双曲线相交的条件联立。核心在于用点到直线距离与判别式建立约束并推出矛盾。

📌【题干】

Question

（1988年广东卷(文)） 设 $k$ 和 $r$ 是实数，且 $r>0$，使得直线 $y=kx+1$ 既与圆 $x^2+y^2=r^2$ 相切，又与双曲线 $x^2-y^2=r^2$ 有两个交点.

(1)求证：$\frac{1}{r^2}-k^2=1$，且 $|k|\ne 1$；

(2)试问：直线 $y=kx+1$ 能否经过双曲线 $x^2-y^2=r^2$ 的焦点？为什么？

🔍【思路分析】

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（1）相切得 $\frac{1}{\sqrt{1+k^2}}=r$，平方即得；两交点要求 $1-k^2\ne 0$。（2）代入焦点 $(\pm \sqrt{2}r,0)$ 得 $k^2=1$ 矛盾。

✅【答案】

Success

(1)证明见解析；(2)不能，证明见解析

✍【详细解析】

Abstract

（1）直线 $kx-y+1=0$ 与圆相切，圆心到直线距离 $\frac{1}{\sqrt{1+k^2}}=r$，平方得 $\frac{1}{1+k^2}=r^2$，即 $\frac{1}{r^2}-k^2=1$。代入双曲线：$x^2-(kx+1{)}^2=r^2$，即 $(1-k^2)x^2-2kx-(1+r^2)=0$。有两个不同实根要求 $1-k^2\ne 0$，即 $|k|\ne 1$。 （2）双曲线焦点为 $F_{1,2}(\pm \sqrt{2}r,0)$。若直线过 $F_1$，则 $-\sqrt{2}rk+1=0$，$\frac{1}{r}=\sqrt{2}k$。代入 $\frac{1}{r^2}-k^2=1$ 得 $2k^2-k^2=1$，$k^2=1$，与 $|k|\ne 1$ 矛盾。故直线不经过左焦点；同理也不经过右焦点。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：直线与圆、双曲线的位置关系

核心方法：直线与圆相切得 $\frac{1}{r^2}-k^2=1$，与双曲线两交点得 $|k|\ne 1$；焦点 $(\pm \sqrt{2}r,0)$ 不在直线上。

避坑指南：圆心到直线距离 $=r$；判别式 $>0$ 且二次项系数非 $0$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：直线与圆双曲线。

结论推广：距离公式与判别式。

方法推广：焦点。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 17.01 圆的方程与圆系理论
• 18.02 双曲线专题全总结

类题演练 (Links)

• 1996-全国卷文-25 解-直线与双曲线的位置关系
• 1990-广东理-22 单-圆上点的最值
• 1989-广东文-28 填-圆的切线方程