1988-全国卷理-22 解-旋转体的体积

本题导读

本题考查正三棱锥的性质、空间点线距离。核心在于构造等体积法/等高模型法、几何作图与解三角形法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（1988年全国卷(理)） 如图，正三棱锥 $S-ABC$ 的侧面是边长为 $a$ 的正三角形，$D$ 是 $SA$ 的中点，$E$ 是 $BC$ 的中点，求 $△SDE$ 绕直线 $SE$ 旋转一周所得旋转体的体积.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 确定几何体形状： $△SDE$ 绕直线 $SE$ 旋转，以 $SE$ 为旋转轴，动点 $D$ 到 $SE$ 的垂线段 $DH$ 即为旋转形成的两个对接圆锥的公共底面半径 $r$。整个旋转体由以 $H$ 为圆心的两个同底圆锥组成，高之和即为 $SE$ 的长度。因此体积为 $V=\frac{1}{3}\pi \cdot D{H}^2\cdot SE$。
2. 计算 $△SDE$ 的三边长： - 侧面是边长为 $a$ 的正三角形，底面也是边长为 $a$ 的正三角形，故该几何体为正四面体。
   • $SE$ 是侧面正三角形的中线，$SE=\frac{\sqrt{3}}{2}a$。
   • $AE$ 是底面正三角形的中线，$AE=\frac{\sqrt{3}}{2}a$。
   • 在 $△SAE$ 中，$D$ 是 $SA$ 的中点，利用余弦定理或等腰三角形性质求出中线 $DE$ 的长。
3. 求旋转半径 $DH$： 在 $△SDE$ 中，过 $D$ 作 $DH\perp SE$ 于 $H$，利用海伦公式或余弦定理求出 $\sin \angle K$（或直接算面积），从而求得高 $DH$。

✅【答案】

Success

$\frac{\sqrt{3}}{36}\pi a^3$

✍【详细解析】

Abstract

因正三棱锥 $S-ABC$ 的侧面是边长为 $a$ 的正三角形，其底面 $ABC$ 亦为边长为 $a$ 的正三角形，此几何体为正四面体。

1. 计算 $△SDE$ 的三边长：

   • 在正 $△SBC$ 中，$E$ 为 $BC$ 中点，故 $SE=\frac{\sqrt{3}}{2}a$。
   • 在正 $△ABC$ 中，$E$ 为 $BC$ 中点，故 $AE=\frac{\sqrt{3}}{2}a$。
   • 在 $△SAE$ 中，$SA=a$，$SE=AE=\frac{\sqrt{3}}{2}a$，说明 $△SAE$ 是以 $SE,AE$ 为腰的等腰三角形。 取 $SA$ 的中点 $D$，连接 $DE$，则 $DE\perp SA$。 在 $\text{Rt}△ADE$ 中，$AD=\frac{1}{2}a$，$AE=\frac{\sqrt{3}}{2}a$，由勾股定理得： $DE=\sqrt{A{E}^2-A{D}^2}=\sqrt{{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}a\right)}^2-{\left(\frac{1}{2}a\right)}^2}=\frac{\sqrt{2}}{2}a$

2. 求点 $D$ 到直线 $SE$ 的距离 $DH$： 在 $△SDE$ 中，三边长分别为 $SD=\frac{1}{2}a$，$SE=\frac{\sqrt{3}}{2}a$，$DE=\frac{\sqrt{2}}{2}a$。 由余弦定理求 $\cos \angle DSE$： $\cos \angle DSE=\frac{S{D}^2+S{E}^2-D{E}^2}{2\cdot SD\cdot SE}=\frac{{\left(\frac{1}{2}a\right)}^2+{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}a\right)}^2-{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}a\right)}^2}{2\cdot \frac{1}{2}a\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}a}=\frac{\frac{1}{4}+\frac{3}{4}-\frac{2}{4}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{1}{\sqrt{3}}$

   从而求得 $\sin \angle DSE$： $\sin \angle DSE=\sqrt{1-{\cos }^2\angle DSE}=\sqrt{1-{\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)}^2}=\frac{\sqrt{6}}{3}$

   过 $D$ 作 $DH\perp SE$ 于 $H$，则 $DH$ 为旋转体的底面半径 $r$： $r=DH=SD\cdot \sin \angle DSE=\frac{1}{2}a\cdot \frac{\sqrt{6}}{3}=\frac{\sqrt{6}}{6}a$

3. 计算旋转体体积： 该旋转体由两个以 $DH$ 为底面半径，分别以 $SH$ 和 $EH$ 为高的圆锥拼合而成。 $V=V_{\text{锥}S}+V_{\text{锥}E}=\frac{1}{3}\pi \cdot D{H}^2\cdot SH+\frac{1}{3}\pi \cdot D{H}^2\cdot EH=\frac{1}{3}\pi \cdot D{H}^2\cdot (SH+EH)=\frac{1}{3}\pi \cdot D{H}^2\cdot SE$ 将 $DH=\frac{\sqrt{6}}{6}a$ 和 $SE=\frac{\sqrt{3}}{2}a$ 代入体积公式： $V=\frac{1}{3}\pi {\left(\frac{\sqrt{6}}{6}a\right)}^2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}a=\frac{1}{3}\pi \cdot \frac{6}{36}{a}^2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}a=\frac{\sqrt{3}}{36}\pi a^3$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点： 正四面体的几何性质，非直角三角形绕边旋转的模型建立，旋转体体积公式。
2. 核心方法： * 等积拼接法： 任意三角形绕其一边（设长为 $L$）旋转，其总体积可统一视为 $V=\frac{1}{3}\pi r^{2}L$，其中 $r$ 是该边上的高。
3. 避坑指南： * 错把 $△SDE$ 误认为直角三角形直接求高。必须通过三边长利用余弦定理严格计算。
   • 计算旋转底面半径 $r$ 时，注意是点 $D$ 到 $SE$ 的垂直距离，而不是中线 $DE$ 的长度。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源： 本题属于空间解析与现代立体几何交汇的经典大题。其考查的“组合圆锥”模型是解析旋转体体积（如古尔丁定理/巴普斯定理背景）在初等数学中的典型具象化。
2. 结论推广： 若任意一个面积为 $S_{△}$ 的三角形绕其已知边 $l$ 旋转一周，由于该边上的高 $h=\frac{2S_{△}}{l}$ 即为旋转半径，由此可推广出通用的旋转体体积计算公式： $V=\frac{1}{3}\pi {\left(\frac{2S_{△}}{l}\right)}^2\cdot l=\frac{4\pi S_{△}^2}{3l}$

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 1991-上海-27 解-旋转体的体积与最值
• 1993-新高考文-14 单-直角梯形旋转体的全面积与体积
• 1996-上海文-18A 填-旋转体的体积