1988-全国卷理-03 单-集合的子集个数

本题导读

本题考查集合的概念与表示，以及子集的定义。

📌【题干】

Question

（1988年全国卷(理)） 集合 $\{1,2,3\}$ 的子集共有 ()

A. $7$ 个　　　　　　　B. $8$ 个　　　　　　　C. $6$ 个　　　　　　　D. $5$ 个

🔍【思路分析】

破题导航

1. 方法一（公式法）：集合有 $n=3$ 个元素，子集总数为 $2^n$。
2. 方法二（穷举法）：按 $0$ 元、$1$ 元、$2$ 元、$3$ 元子集一一列出，再求和。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

解法一（公式法）：

设集合 $S=\{1,2,3\}$，共有 $3$ 个元素： $n=3\text{(1)}$

含 $n$ 个元素的集合，子集总数为： $N=2^n\text{(2)}$

代入： $N=2^3=2\times 2\times 2=8\text{(3)}$

解法二（穷举法）：

按子集所含元素个数分类：

1. $0$ 元子集（空集）：$1$ 个，即 $\varnothing$；
2. $1$ 元子集：$3$ 个，即 $\{1\}$，$\{2\}$，$\{3\}$；
3. $2$ 元子集：$3$ 个，即 $\{1,2\}$，$\{1,3\}$，$\{2,3\}$；
4. $3$ 元子集（集合自身）：$1$ 个，即 $\{1,2,3\}$。

相加： $\text{总个数}=1+3+3+1=8\text{(4)}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：有限集合子集总数公式 $2^n$、真子集总数公式 $2^n-1$、非空真子集总数公式 $2^n-2$。
2. 核心方法：公式法、穷举法。
3. 避坑指南：
   • 容易漏掉空集而错选 A：数子集时如果只考虑非空子集，会数成 7 个。空集 $\varnothing$ 是任何集合的子集。
   • 审题看清是“子集”还是“真子集”。真子集需扣除集合自身，答案为 $8-1=7$ 个；本题求的是子集，不扣除。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题为 1988 年全国高考理科卷第 3 题，考查集合的基本概念。
2. 结论推广：含 $n$ 个元素的集合，每个元素都有“选”与“不选”两种状态，由乘法原理，子集总数为 $2^n$；也可用组合数求和： $|\mathcal{P}(S)|={\sum }_{k=0}^n{\mathrm{C}}_n^k=2^n$ 本题 $n=3$，代入得 $2^3=8$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 01.01 集合的含义、表示与基本运算

类题演练 (Links)

• 1988-全国文-03 单-集合的子集个数
• 1992-全国文-22 填-子集与组合计数
• 1991-三南-05 单-集合的包含与并集