1988-全国文-15 单-二面角的正切

本题导读

本题考查二面角的正切值，由点到面、点到棱距离求。

📌【题干】

Question

（1988年全国卷(文)） 已知二面角 $\alpha -AB-\beta$ 的平面角是锐角 $\theta$，$\alpha$ 内一点 $C$ 到 $\beta$ 的距离为 $3$，点 $C$ 到棱 $AB$ 的距离为 $4$，那么 $\tan \theta$ 的值等于()

A. $\frac{3}{4}$　　　　　　　　B. $\frac{3}{5}$　　　　　　　　C. $\frac{3}{\sqrt{7}}$　　　　　　　　D. $\frac{1}{3\sqrt{7}}$

🔍【思路分析】

破题导航

构造直角三角形，$\tan \theta =\frac{3}{\sqrt{4^2-3^2}}$。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

设 $C$ 在 $\beta$ 上的射影为 $D$，则 $CD=3$。点 $C$ 到棱 $AB$ 的距离 $4$，设垂足 $E$，则 $CE=4$。$DE$ 是 $CE$ 在 $\beta$ 内的射影，$DE=\sqrt{C{E}^2-C{D}^2}=\sqrt{16-9}=\sqrt{7}$。$\tan \theta =\frac{CD}{DE}=\frac{3}{\sqrt{7}}$。选 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二面角的正切

核心方法：二面角 $\tan \theta =\frac{3}{\sqrt{4^2-3^2}}=\frac{3}{\sqrt{7}}$。

避坑指南：射影直角三角形。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：二面角。

结论推广：射影三角形。

方法推广：$\tan \theta$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.05 几何法求空间角专题

类题演练 (Links)

• 1990-广东理-31 解-线面垂直与二面角
• 1990-广东文-32 解-线面垂直与二面角
• 1991-上海-24 解-线面角与二面角的求法