1987-广东理-33 解-抛物线的焦点弦

本题导读

本题考查抛物线的焦点弦与垂直平分线，核心在于设直线方程联立与分类讨论。

📌【题干】

Question

（1987年广东卷(理)） 直线 $l$ 过抛物线 $y^2=2px$（$p\ne 0$）的焦点，并且与这抛物线相交于 $A(x_1,y_1)$ 和 $B(x_2,y_2)$ 两点.(1)求证：$4x_1{x}_2=p^2$；(2)求证：对于这抛物线的任何给定的一条弦 $CD$，直线 $l$ 不是 $CD$ 的垂直平分线.

🔍【思路分析】

破题导航

（1）分 $l\perp x$ 轴与不垂直讨论，韦达定理；（2）设 $CD$ 垂直平分线，讨论焦点位置。

✅【答案】

Success

见解析

✍【详细解析】

Abstract

（1）当 $l\perp x$ 轴时 $x_1=x_2=\frac{p}{2}$，$4x_1{x}_2=p^2$；当 $l$ 不垂直于 $x$ 轴时设 $l:y=k(x-\frac{p}{2})$，代入 $y^2=2px$ 得 $x^2-p(1+\frac{2p}{k^2})x+\frac{p^2}{4}=0$，由韦达定理 $x_1{x}_2=\frac{p^2}{4}$，即 $4x_1{x}_2=p^2$。（2）设 $C(\frac{c^2}{2p},c)$、$D(\frac{d^2}{2p},d)$，其垂直平分线 $l\prime$ 的方程可化为 $y=\frac{c+d}{8p^2}(4p^2+c^2+d^2)-\frac{c+d}{2p}x$。若焦点 $F\in l\prime$，则 $(c+d)(2p^2+c^2+d^2)=0$，故 $c+d=0$，$l\prime :y=0$ 只交抛物线于原点，与 $l$ 不重合；若 $F\notin l\prime$，$l$ 过 $F$ 故与 $l\prime$ 不重合。综上 $l$ 不是 $CD$ 的垂直平分线。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：抛物线的焦点弦

核心方法：设过焦点直线，韦达定理证 $4x_1{x}_2=p^2$；垂直平分线讨论。

避坑指南：分 $l\perp x$ 轴与不垂直两种情况。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：抛物线焦点弦。

结论推广：韦达定理证 $x_1{x}_2=\frac{p^2}{4}$。

方法推广：设直线方程联立。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结

类题演练 (Links)

• 1990-广东理-14 单-抛物线的准线与焦点
• 1990-全国文-10 单-抛物线的焦点与准线
• 1989-上海-10 填-抛物线的准线方程