2000-大纲理-11 单-抛物线焦点弦

本题导读

本题考查抛物线的焦点弦，以及韦达定理。

📌【题干】

Question

（2000年大纲卷(理)） 过抛物线 $y=a{x}^2(a>0)$ 的焦点 $F$ 作一直线交抛物线于 $P$，$Q$ 两点，若线段 $PF$ 与 $FQ$ 的长分别是 $p$，$q$，则 $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}$ 等于()

A. $y=\sqrt{3}x$ B. $y=-\sqrt{3}x$ C. $y=\frac{\sqrt{3}}{3}x$ D. $y=-\frac{\sqrt{3}}{3}x$

🔍【思路分析】

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1. 设直线 $y-\frac{1}{4a}=kx$，联立抛物线由韦达定理得 $x_1{x}_2=-\frac{1}{4a^2}$，结合弦长与横坐标的关系化简 $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}$。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

抛物线 $y=a{x}^2$ 的焦点为 $F\left(0,\frac{1}{4a}\right)$. 设过焦点的直线方程为 $y-\frac{1}{4a}=kx$. 它与抛物线的两个交点的横坐标 $x_1$，$x_2$ 是方程 $a{x}^2-kx-\frac{1}{4a}=0$ 的两个根，因此 $x_1{x}_2=-\frac{1}{4a^2}<0$，两根异号. 直线上横坐标相差 $|x|$ 的两点间距离相差 $|x|\sqrt{1+k^2}$，且 $x_1$，$x_2$ 异号，所以 $|x_1|+|x_2|=|x_1-x_2|=\frac{\sqrt{k^2+1}}{a}$. 因而 $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=\frac{1}{\sqrt{1+k^2}}\left(\frac{1}{|x_1|}+\frac{1}{|x_2|}\right)=\frac{|x_1|+|x_2|}{|x_1{x}_2|\sqrt{1+k^2}}=\frac{\sqrt{k^2+1}/a}{\frac{1}{4a^2}\sqrt{1+k^2}}=4a$. 故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：抛物线焦点弦性质

核心方法：设点代韦达定理+弦长转化

避坑指南：$y=a{x}^2$ 的焦点是 $\left(0,\frac{1}{4a}\right)$（开口向上），别与 $y^2=2px$ 型混淆；$|x_1|+|x_2|=|x_1-x_2|$ 成立的前提是两根异号

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：焦点弦定值问题是圆锥曲线的经典结论题.

2. 结论推广：抛物线 $x^2=2py$ 中，过焦点的弦长 $p,q$ 满足 $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=\frac{2}{p_{参数}}$（本题即 $4a$），与倾斜角无关.

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2000-大纲文-11 单-抛物线焦点弦的倒数和
• 1987-广东理-33 解-抛物线的焦点弦