1987-广东理-29 填-椭圆的标准方程

本题导读

本题考查椭圆标准方程的确定。

📌【题干】

Question

（1987年广东卷(理)） 已知椭圆的两个焦点是 $F_1(0,-1)$ 和 $F_2(0,3)$，并且点 $A(2,1)$ 在该椭圆上，那么这个椭圆的方程是$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

焦点在 $y$ 轴，中心 $(0,1)$，$c=2$，由 $2a=|A{F}_1|+|A{F}_2|$ 求 $a$。

✅【答案】

Success

$\frac{x^2}{4}+\frac{(y-1{)}^2}{8}=1$

✍【详细解析】

Abstract

中心 $(0,1)$，$c=2$。$2a=|A{F}_1|+|A{F}_2|=\sqrt{4+4}+\sqrt{4+4}=4\sqrt{2}$，故 $a=2\sqrt{2}$，$b^2=a^2-c^2=8-4=4$。方程为 $\frac{x^2}{4}+\frac{(y-1{)}^2}{8}=1$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：椭圆的标准方程

核心方法：焦点 $(0,-1),(0,3)$，中心 $(0,1)$，$c=2$，过点 $A(2,1)$。

避坑指南：$\frac{x^2}{4}+\frac{(y-1{)}^2}{8}=1$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：椭圆标准方程。

结论推广：焦点定中心与焦距。

方法推广：由焦点和点求方程。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结

类题演练 (Links)

• 1990-广东理-32 解-椭圆的方程与焦点
• 1989-全国文-24 解-椭圆与双曲线公共焦点
• 1988-全国文-05 单-椭圆的焦距