1987-广东理-19 单-二项式系数的求和

本题导读

本题考查二项式系数求和。

📌【题干】

Question

（1987年广东卷(理)） 设 $(1+x{)}^3+(1+x{)}^4+\cdots +(1+x{)}^{50}=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+a_3{x}^3+\cdots +a_{50}{x}^{50}$，则 $a_3=$()

A. $C_{51}^3$　　　　　　　B. $C_{51}^4$　　　　　　　C. $2C_{50}^3$　　　　　　　D. $C_{50}^4$

🔍【思路分析】

破题导航

$a_3=C_3^3+C_4^3+\cdots +C_{50}^3$。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

$x^3$ 系数 $a_3=C_3^3+C_4^3+\cdots +C_{50}^3=C_{51}^4$（组合恒等式 $C_r^r+C_{r+1}^r+\cdots +C_n^r=C_{n+1}^{r+1}$）。故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二项式系数的求和

核心方法：$(1+x{)}^3+\cdots +(1+x{)}^{50}$ 的 $x^3$ 系数 $C_3^3+C_4^3+\cdots +C_{50}^3$。

避坑指南：用组合恒等式 $=C_{51}^4$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：二项式系数求和。

结论推广：$C_r^r+C_{r+1}^r+\cdots +C_n^r=C_{n+1}^{r+1}$。

方法推广：组合恒等式。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.03 二项式定理全总结

类题演练 (Links)

• 1990-广东理-27 填-多项式展开式的系数
• 1988-全国文-07 单-二项式展开式的系数
• 1989-上海-24 解-二项式系数相等