1987-广东理-15 单-圆锥曲线的判定

本题导读

本题考查圆锥曲线类型的判定。

📌【题干】

Question

（1987年广东卷(理)） 设实数 $\theta \in (\frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{4})$，那么方程 $\frac{x^2}{\csc \theta -2}+\frac{y^2}{2-\sec \theta }=1$ 所表示的曲线是()

A. 焦点在 $y$ 轴上的椭圆　　　　　　　　　　B. 焦点在 $x$ 轴上的椭圆 C. 焦点在 $y$ 轴上的双曲线　　　　　　　　D. 焦点在 $x$ 轴上的双曲线

🔍【思路分析】

破题导航

$\theta \in (\frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{4})$，判断 $\csc \theta -2$ 与 $2-\sec \theta$ 符号。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

$\theta \in (\frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{4})$ 时 $\csc \theta \in (1,\sqrt{2})$，故 $\csc \theta -2<0$；$\sec \theta \in (-\infty ,-\sqrt{2})$，故 $2-\sec \theta >0$。分母异号，为双曲线，且 $y^2$ 分母为正，焦点在 $y$ 轴。故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：圆锥曲线的判定

核心方法：$\theta \in (\frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{4})$，判断 $\csc \theta -2$ 与 $2-\sec \theta$ 的符号。

避坑指南：分母一正一负，为焦点在 $y$ 轴的双曲线。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：圆锥曲线判定。

结论推广：分母同号椭圆，异号双曲线。

方法推广：由参数范围判断。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结

类题演练 (Links)

• 1990-广东理-18 单-极坐标方程与曲线
• 1988-上海-11 单-二元方程表示的曲线
• 1989-全国文-10 单-双曲线的焦半径与准线