1987-广东理-13 单-椭圆的长轴与短轴

本题导读

本题考查椭圆长短轴关系。

📌【题干】

Question

（1987年广东卷(理)） 设常数 $a>0$，椭圆 $x^2-2ax+a^2{y}^2=0$ 的长轴是短轴的 $2$ 倍，则 $a=$()

A. $2$ 或 $\frac{1}{2}$　　　　　　　　B. $2$　　　　　　　　C. $\frac{1}{2}$　　　　　　　　D. $\sqrt{2}$

🔍【思路分析】

破题导航

配方得 $(x-a{)}^2+a^2{y}^2=a^2$，比较长短轴。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

$x^2-2ax+a^2{y}^2=0\Rightarrow (x-a{)}^2+a^2{y}^2=a^2$，即 $\frac{(x-a{)}^2}{a^2}+y^2=1$。半长轴 $a$、半短轴 $1$，长轴是短轴 $2$ 倍即 $a=2$ 或 $a=\frac{1}{2}$。故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：椭圆的长轴与短轴

核心方法：$x^2-2ax+a^2{y}^2=0$ 配成椭圆标准式，长轴短轴比 $2$。

避坑指南：$a=2$ 或 $\frac{1}{2}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：椭圆长短轴。

结论推广：配成标准式比较长短轴。

方法推广：长轴是短轴 2 倍。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结

类题演练 (Links)

• 1990-广东理-32 解-椭圆的方程与焦点
• 1988-全国文-05 单-椭圆的焦距
• 1990-全国文-26 解-椭圆方程与最值