1987-广东文-27 填-椭圆的标准方程

本题导读

本题考查椭圆的标准方程，以及由焦点与椭圆上一点定参数。

📌【题干】

Question

（1987年广东卷(文)） 已知椭圆的两个焦点是 $F_1(-2,0)$ 和 $F_2(2,0)$，并且点 $A(0,2)$ 在该椭圆上，那么这个椭圆的标准方程是　$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

焦点在 $x$ 轴，$c=2$；点 $(0,2)$ 给出 $b^2=4$，$a^2=b^2+c^2$。

✅【答案】

Success

$\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1$

✍【详细解析】

Abstract

焦点 $(\pm 2,0)$ 在 $x$ 轴上，$c=2$。点 $A(0,2)$ 代入 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 得 $\frac{4}{b^2}=1$，$b^2=4$，$a^2=b^2+c^2=4+4=8$。故椭圆方程为 $\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：椭圆的标准方程

核心方法：焦点 $(\pm 2,0)$，中心原点，$c=2$，过 $(0,2)$ 求 $a$。

避坑指南：$2a=4\sqrt{2}$，$a=2\sqrt{2}$，$b^2=8-4=4$，$\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：椭圆标准方程。

结论推广：焦点定焦距。

方法推广：$2a$ 定义。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结

类题演练 (Links)

• 1987-广东理-29 填-椭圆的标准方程
• 1990-广东理-32 解-椭圆的方程与焦点
• 1988-全国文-05 单-椭圆的焦距