本题导读
本题考查导数的几何意义（平行切线），以及抛物线的切线斜率。
📌【题干】
Question
（1987年全国卷(理)） 在抛物线 上求一点，使该点到直线 的距离为最短.
🔍【思路分析】
破题导航
- 方法一（平行切线法——导数工具）：
- 将已知直线 平行向抛物线移动，当直线与抛物线刚刚相切时，切点 即为距离直线最近的点。
- 根据导数的几何意义，切点 处的切线斜率必等于已知直线的斜率，即 。
- 对抛物线求导，反解出切点横坐标 ，代入抛物线方程求出纵坐标 。
- 方法二（代数设点法——配方工具）：
- 设抛物线上的动点为 。
- 利用点到直线的距离公式 构建关于 的二次目标函数。
- 对二次函数进行完全平方配方，求出取得极小值时自变量 的取值。
✅【答案】
Success
✍【详细解析】
Abstract
解法一（平行切线法）：
已知抛物线方程为： 已知直线的斜率为 。当抛物线上的某一点到该直线的距离最短时，抛物线在该点处的切线必然与已知直线相互平行。
对抛物线方程 ① 求一阶导数，得到任意点处的切线斜率算子：
设目标最短距离点为 。令该点处的切线斜率等于已知直线的斜率： 由此解得目标点的横坐标：
将横坐标 代回抛物线方程 ① 中，求得对应的纵坐标 ：
经校验，直线的纵截距 远小于切线的纵截距 ，抛物线全域位于已知直线的上方，临界平行切点即为局部与全局唯一的最短距离点。
解法二（代数设点法）：
将已知直线方程 转化为标准一般式：
设抛物线 上的任意动点坐标为 。 根据点到直线的距离公式，点 到直线 ⑥ 的距离 为：
考察分子内部的一元二次多项式 。对其执行完全平方配方：
因为实数的平方项恒满足 ， 所以当且仅当 时，二次因式取得全域极小值： 此时距离 达到最短值 。
将 代入动点纵坐标 中，解得：
由此，使距离最短的点坐标为 。
💡【考点归纳与避坑指南】
Danger
- 核心考点：导数在切线斜率中的几何表征、点到直线的距离公式、二次函数配方最值。
- 核心方法：平行切线法、参数设点最值法。
- 避坑指南：
- 本题要求输出的是“求一点”，最终答案必须是一个规范的二维点坐标 ，很多同学在计算出横坐标 或最短距离 后直接作为答案输出，属于没有仔细审清题干的问法。
- 使用导数法计算出横坐标后，切记应当代回抛物线方程去求纵坐标，千万不要误代入直线方程。
📖【试题探源与推广】
Tip
- 试题探源：本题为 1987 年全国高考理科卷第 13 题，是微积分应用与解析几何的经典交汇题。其高等数学背景为微分几何中凸结构（Convex Manifold）到仿射超平面（Affine Hyperplane）的欧氏距离函数的极值点正交性质。
- 结论推广：对于通用的标准二次抛物线 （）到任意非相交直线 的最短距离点，由于其切线夹角不变量的约束，该最短距离点的横坐标显式受控于下列一阶线性极值方程： 在本题特定参量中（ ），直接带入推广方程核算： 。
🔗【关联脉络】
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