1987-全国卷理-06 单-三角函数的图象变换

本题导读

本题考查三角函数图象的平移变换。

📌【题干】

Question

（1987年全国卷(理)） 要得到函数 $y=\sin \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)$ 的图象，只需将函数 $y=\sin 2x$ 的图象（如图） ()

A. 向左平行移动 $\frac{\pi }{3}$　　　　　　　　　　　　　　　　B. 向右平行移动 $\frac{\pi }{3}$ C. 向左平行移动 $\frac{\pi }{6}$　　　　　　　　　　　　　　　　D. 向右平行移动 $\frac{\pi }{6}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 图象平移遵循“左加右减”，且针对自变量 $x$ 本身。
2. 把目标函数化为 $y=\sin \left[2\left(x-\frac{\pi }{6}\right)\right]$，即提取 $x$ 的系数 $2$。
3. 由 $\frac{\pi }{6}$ 的符号判断平移方向和距离。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

解：

提取自变量 $x$ 前的系数 $2$： $y=\sin \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)=\sin \left[2\left(x-\frac{\pi }{6}\right)\right]\text{(1)}$

将函数 $f(x)$ 的图象向右平移 $\Delta x$（$\Delta x>0$）个单位，得到 $f(x-\Delta x)$ 的图象。

基础函数为： $f(x)=\sin 2x\text{(2)}$ 对照式 ① 与式 ②，把式 ② 中的 $x$ 换成 $x-\frac{\pi }{6}$： $\sin 2x\stackrel{x\leftarrow x-\frac{\pi }{6}}{\to }\sin \left[2\left(x-\frac{\pi }{6}\right)\right]\text{(3)}$

是减去 $\frac{\pi }{6}$，由“左加右减”，图象向右平移 $\frac{\pi }{6}$ 个单位。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：函数图象平移与自变量的关系、三角函数图象变换。
2. 核心方法：提取系数法。
3. 避坑指南：
   • 易错点（忘记提取系数而错选 B）：如果只记“左加右减”，看到 $-\frac{\pi }{3}$ 就直接判成“向右平移 $\frac{\pi }{3}$”，会错选 B。平移距离是常数项除以 $x$ 的系数，不是常数项本身。
   • 应先提系数，再看平移。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题为《三角函数的图象与性质》中 $y=A\sin (\omega x+\phi )$ 图象变换的基础题。
2. 结论推广：由 $y=f(\omega x)$ 的图象得到 $y=f(\omega x+\phi )$ 的图象，先变形为 $y=f\left[\omega \left(x+\frac{\phi }{\omega }\right)\right]$；
   • 当 $\frac{\phi }{\omega }>0$ 时，向左平移 $\frac{\phi }{\omega }$ 个单位；
   • 当 $\frac{\phi }{\omega }<0$ 时，向右平移 $\left|\frac{\phi }{\omega }\right|$ 个单位。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

1989-全国文-02 单-相同图象的函数 1990-全国文-06 单-由图象确定正弦函数解析式 1988-全国文-13 单-正弦函数的单调区间