1987-全国卷理-05 单-函数的单调性

本题导读

本题考查函数的单调性，以及复合函数的单调性（同增异减）。

📌【题干】

Question

（1987年全国卷(理)） 在区间 $(-\infty ,0)$ 上为增函数的是 ()

A. $y=-{\log }_{\frac{1}{2}}(-x)$　　　B. $y=\frac{x}{1-x}$　　　C. $y=-(x+1{)}^2$　　　D. $y=1+x^2$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析 A 选项（对数复合函数）： 考虑内层函数 $u=-x$ 和外层函数 $y=-{\log }_{\frac{1}{2}}u$。在 $(-\infty ,0)$ 上，通过层层复合判断其最终单调性。
2. 分析 B 选项（分式函数变形）： 通过分式的常数分离技术，将 $y=\frac{x}{1-x}$ 转化为标准反比例函数平移结构 $y=-1+\frac{1}{1-x}$，直接观察自变量增大时函数值的走向。
3. 分析 C、D 选项（二次函数对称轴）： 确定抛物线的对称轴位置，利用二次函数在对称轴两侧的单调性分布进行拦截。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

解：

对四个选项在区间 $(-\infty ,0)$ 上的单调性进行逐一求证与甄别：

• A 项： 设内层核心算子为 $u=-x$。当 $x\in (-\infty ,0)$ 时， $u\in (0,+\infty )$，且 $u=-x$ 严格单调递减。 外层算子为 $y=-{\log }_{\frac{1}{2}}u$。因为底数 $\frac{1}{2}\in (0,1)$，对数函数 ${\log }_{\frac{1}{2}}u$ 递减，前面带有负号，所以外层函数 $y=-{\log }_{\frac{1}{2}}u$ 在 $u>0$ 域内严格单调递增。 根据复合函数“同增异减”基本判定法则，内层递减、外层递增，复合后的整体函数 $y=-{\log }_{\frac{1}{2}}(-x)$ 在 $(-\infty ,0)$ 上严格单调递减，排除。

• B 项： 对分式函数进行多项式常数分离变形： $y=\frac{x}{1-x}=\frac{-(1-x)+1}{1-x}=-1+\frac{1}{1-x}\text{(1)}$

  任取 $x_1<x_2<0$，考察分母的变化： $x_1<x_2⟹-x_1>-x_2⟹1-x_1>1-x_2>1\text{(2)}$ 因为两分母均大于 1，取倒数后不等号方向发生逆转： $\frac{1}{1-x_1}<\frac{1}{1-x_2}⟹-1+\frac{1}{1-x_1}<-1+\frac{1}{1-x_2}\text{(3)}$ 即 $y(x_1)<y(x_2)$。根据单调增函数的定义，该函数在 $(-\infty ,0)$ 上为增函数。

• C 项： 抛物线 $y=-(x+1{)}^2$ 的开口向下，对称轴方程为 $x=-1$。 该二次函数在 $(-\infty ,-1]$ 上严格单调递增，在 $[-1,+\infty )$ 上严格单调递减。 因为目标区间 $(-\infty ,0)$ 跨越了对称轴 $x=-1$，在该区间内它不是单调函数（先增后减），排除。

• D 项： 抛物线 $y=1+x^2$ 的开口向上，对称轴为 $y$ 轴（即 $x=0$）。 根据顶点性质，该二次函数在对称轴左侧的 $(-\infty ,0]$ 空间内严格单调递减，排除。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：复合函数单调性链式判定、分式函数常数分离化简、二次函数单调区间的截断。
2. 核心方法：基本函数单调性分析法、导数法。
3. 避坑指南：
   • 采用导数快速复核 B 项： $y^{\prime }=\frac{1\cdot (1-x)-x\cdot (-1)}{(1-x{)}^2}=\frac{1}{(1-x{)}^2}$。因为在定义域内导数 $y^{\prime }>0$ 恒成立，所以该函数在其整个定义域（含负半轴）上无条件严格单调递增，从而可直接锁定答案。
   • 判定 C 选项时，不宜看到负半轴就误认为单调。必须严格计算对称轴 $x=-1$，由于 $-1\in (-\infty ,0)$，区间内部发生单调性断裂。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于高中数学课本《函数的单调性》章节中关于各种基本初等函数单调性的综合对比题。其高等数学背景为初等实函数在有界/无界开集上的全域导数正定性（Positivity of derivative）分析。
2. 结论推广：对于广义的单式分式线性变换函数（莫比乌斯变换退化结构） $f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}$：
   • 其导函数为 $f^{\prime }(x)=\frac{ad-bc}{(cx+d{)}^2}$。
   • 当行列式不变量满足 $ad-bc>0$ 时，该函数在各自分支定义域内恒为增函数；
   • 当 $ad-bc<0$ 时，该函数在各自分支定义域内恒为减函数。 在本题 B 项中（$a=1,b=0,c=-1,d=1$），不变量 $ad-bc=1\cdot 1-0\cdot (-1)=1>0$，故在其全域分支上恒为增函数。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

1988-全国文-13 单-正弦函数的单调区间 1990-全国文-13 单-函数值的奇偶性质 1989-全国文-12 单-复合函数的单调性