1987-全国文-21 解-抛物线与正方形的面积

本题导读

本题考查抛物线上的正方形面积，核心在于用弦长等于平行线距离建立方程。

📌【题干】

Question

（1987年全国卷(文)） 正方形 $ABCD$ 在直角坐标平面内，已知其一条边 $AB$ 在直线 $y=x+4$ 上，$C$，$D$ 在抛物线 $x=y^2$ 上，求正方形 $ABCD$ 的面积.

🔍【思路分析】

破题导航

设 $CD$ 为 $y=x+b$，用弦长公式求 $|CD|$，用平行线距离求 $|AD|$，令二者相等解 $b$。

✅【答案】

Success

$18$ 或 $50$

✍【详细解析】

Abstract

设 $CD$ 方程为 $y=x+b$。联立 $y=x+b$ 与 $x=y^2$ 消去 $x$ 得 $y^2-y+b=0$，判别式 $\Delta =1-4b$，故 $|CD|=\sqrt{2(1-4b)}=\sqrt{2-8b}$。又 $AB$ 与 $CD$ 距离 $|AD|=\frac{|b-4|}{\sqrt{2}}$。由 $|AD|=|CD|$ 得 $\frac{|b-4|}{\sqrt{2}}=\sqrt{2-8b}$，平方整理得 $b^2+8b+12=0$，解得 $b=-2$ 或 $b=-6$，均满足。面积 $S=|CD{|}^2=2-8b$，分别为 $18$、$50$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：抛物线与正方形的面积

核心方法：设 $CD$ 方程为 $y=x+b$，$|CD|=\sqrt{2-8b}$，$|AD|=\frac{|b-4|}{\sqrt{2}}$，由 $|AD|=|CD|$ 解 $b$。

避坑指南：解得 $b=-2$ 或 $b=-6$，面积 $|CD{|}^2=18$ 或 $50$，两个解均满足。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：抛物线上的正方形。

结论推广：平行线间距离 = 弦长，求正方形边长。

方法推广：设直线方程联立抛物线求弦长。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结

类题演练 (Links)

• 1990-全国文-10 单-抛物线的焦点与准线
• 1988-全国文-23 解-双曲线上的点与距离
• 1990-全国文-26 解-椭圆方程与最值