1981-全国文-06 解-正方形顶点的坐标

本题导读

本题考查正方形顶点的坐标求法。核心在于对角线互相垂直平分与中点公式。

📌【题干】

Question

（1981年全国卷(文)） 已知正方形 $ABCD$ 的相对顶点 $A(0,-1)$ 和 $C(2,5)$，求顶点 $B$ 和 $D$ 的坐标.

🔍【思路分析】

破题导航

$AC$ 中点 $O(1,2)$，$AC$ 方向 $(2,6)$，垂直方向 $(-3,1)$，半对角线长 $\sqrt{10}$。

✅【答案】

Success

$B(4,1)$，$D(-2,3)$（或 $B(-2,3)$，$D(4,1)$）

✍【详细解析】

Abstract

正方形对角线互相垂直平分。$AC$ 的中点 $O\left(\frac{0+2}{2},\frac{-1+5}{2}\right)=(1,2)$。$\overrightarrow{AC}=(2,6)$，故 $|AC|=\sqrt{2^2+6^2}=2\sqrt{10}$，半对角线长 $\sqrt{10}$。垂直于 $AC$ 的方向向量可取 $(-3,1)$（模 $\sqrt{10}$）或 $(3,-1)$。于是 $B=O+(-3,1)=(-2,3)$，$D=O+(3,-1)=(4,1)$；或 $B=(4,1)$，$D=(-2,3)$。故顶点为 $B(4,1)$、$D(-2,3)$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：正方形顶点的坐标

核心方法：对角线中点与垂直平分的性质

避坑指南：正方形对角线互相垂直平分，中点与半对角线定顶点

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：正方形的坐标运算

结论推广：对角线中点公式与垂直关系

方法推广：中点公式与斜率

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 17.01 圆的方程与圆系理论

类题演练 (Links)

• 2007-江西文-13 填-向量数量积正方形顶点
• 1987-全国文-21 解-抛物线与正方形的面积