1987-全国文-16 解-两角和与差的三角函数

本题导读

本题考查两角和差公式及特殊角三角函数值，核心在于三项正弦的相位关系。

📌【题干】

Question

（1987年全国卷(文)） 发电厂发出的电是三相交流电，它的三根导线上的电流强度分别是时间 $t$ 的函数：$I_A=I\sin \omega t$，$I_B=I\sin (\omega t+120^{\circ })$，$I_C=I\sin (\omega t+240^{\circ })$，求 $I_A+I_B+I_C$ 的值.

🔍【思路分析】

破题导航

将三项正弦合并，利用相位互差 $120^{\circ }$ 的关系化简。

✅【答案】

Success

$0$

✍【详细解析】

Abstract

$I_A+I_B+I_C=I\left[\sin \omega t+\sin (\omega t+120^{\circ })+\sin (\omega t+240^{\circ })\right]$。由 $\sin (\omega t+120^{\circ })+\sin (\omega t+240^{\circ })=2\sin (\omega t+180^{\circ })\cos 60^{\circ }=-\sin \omega t$，故原式 $=I(\sin \omega t-\sin \omega t)=0$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：两角和与差的三角函数

核心方法：$I_A+I_B+I_C=I[\sin \omega t+\sin (\omega t+120^{\circ })+\sin (\omega t+240^{\circ })]$。

避坑指南：三项正弦相位互差 $120^{\circ }$，和为 $0$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：三相交流电的三角和。

结论推广：$\sin x+\sin (x+\frac{2\pi }{3})+\sin (x+\frac{4\pi }{3})=0$。

方法推广：相位互差 $120^{\circ }$ 的三正弦和为零。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.01 两角和与差及辅助角公式

类题演练 (Links)

• 1989-全国文-20 解-三角恒等式的证明
• 1990-全国文-22 解-和差化积与正切倍角
• 1988-全国文-21 解-三倍角公式证明