1977-浙江-08 解-两角和正弦分类

本题导读

本题考查两角和的正弦与角的范围讨论。核心在于由 $\sin \beta$ 得 $\cos \beta =\pm \frac{12}{13}$，再由 $\sin (\alpha +\beta )>0$ 舍去钝角分支。

📌【题干】

Question

（1977年浙江卷） 已知 $\alpha$ 和 $\beta$ 是三角形的两个内角，并且 $\alpha$ 是锐角，而 $\cos \alpha =\frac{3}{5}$，$\sin \beta =\frac{5}{13}$，求 $\sin (\alpha +\beta )$ 的值.

🔍【思路分析】

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$\sin \alpha =\frac{4}{5}$；$\beta$ 可能是锐角或钝角，$\cos \beta =\pm \frac{12}{13}$；因 $0^{\circ }<\alpha +\beta <180^{\circ }$，$\sin (\alpha +\beta )$ 不可能是负值，舍去 $\cos \beta =-\frac{12}{13}$ 的情形。

✅【答案】

Success

$\frac{63}{65}$

✍【详细解析】

Abstract

因为 $\alpha$ 为锐角，且 $\cos \alpha =\frac{3}{5}$，所以 $\sin \alpha =\frac{4}{5}$。因为 $\sin \beta =\frac{5}{13}$，$\beta$ 可能是锐角，也可能是钝角，所以 $\cos \beta =\pm \frac{12}{13}$。 当 $\beta$ 为锐角时，$\cos \beta =\frac{12}{13}$，$\sin (\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta =\frac{4}{5}\cdot \frac{12}{13}+\frac{3}{5}\cdot \frac{5}{13}=\frac{63}{65}$。 当 $\beta$ 为钝角时，$\cos \beta =-\frac{12}{13}$，$\sin (\alpha +\beta )=\frac{4}{5}\cdot \left(-\frac{12}{13}\right)+\frac{3}{5}\cdot \frac{5}{13}=-\frac{33}{65}$。 因为 $\alpha$，$\beta$ 是三角形两内角，$0^{\circ }<\alpha +\beta <180^{\circ }$，$\sin (\alpha +\beta )$ 不可能是负值，所以 $\beta$ 为钝角这种情况应舍去。故 $\sin (\alpha +\beta )=\frac{63}{65}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：两角和正弦分类

核心方法：两角和正弦+隐含舍根

避坑指南：$\sin \beta$ 定 $\cos \beta =\pm \frac{12}{13}$，由 $\sin (\alpha +\beta )>0$ 舍钝角

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：求值

结论推广：$\frac{63}{65}$

方法推广：角的范围舍去钝角分支

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.01 两角和与差及辅助角公式

类题演练 (Links)

• 1987-全国文-16 解-两角和与差的三角函数
• 1989-广东文-26 填-诱导公式与特殊角