1987-上海-29 解-复数的旋转变换

本题导读

本题考查复数旋转与伸缩变换，核心在于用三角形式求通项与极限。

📌【题干】

Question

（1987年上海卷） 设复平面上有一系列向量 $\overrightarrow{O{Z}_n}$（$n=0,1,2,\cdots$）满足如下关系：将 $\overrightarrow{O{Z}_n}$ 按逆时针方向旋转 $\frac{3\pi }{4}$ 后，再把它的模变为原来的一半，得到 $\overrightarrow{O{Z}_{n+1}}$.记 $\overrightarrow{O{Z}_n}$ 所对应的复数为 $z_n$（$n=0,1,2,\cdots$），并设这一变换所对应的复数为 $z$.若 $z_0=2\sqrt{2}+2\sqrt{2}\mathrm{i}$，求：(1)$z$；(2)$n$ 为何值时，$z_n$ 为实数？将所有等于实数的 $z_n$ 按原有次序排成数列 $\{a_n\}$，写出该数列的通项公式；(3)${\lim }_{k\to \infty }(a_1+a_2+\cdots +a_k)$.

🔍【思路分析】

破题导航

$z=\frac{1}{2}(\cos \frac{3\pi }{4}+\mathrm{i}\sin \frac{3\pi }{4})$，$z_n=z^n{z}_0$，实数条件为辐角是 $\pi$ 的整数倍。

✅【答案】

Success

(1)$z=\frac{1}{2}\left(\cos \frac{3\pi }{4}+\mathrm{i}\sin \frac{3\pi }{4}\right)$；(2)$n=4k+1$（$k=0,1,2,\cdots$），$a_n=(-2){\left(-\frac{1}{16}\right)}^{n-1}$；(3)$-\frac{32}{17}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）变换对应复数 $z=\frac{1}{2}(\cos \frac{3\pi }{4}+\mathrm{i}\sin \frac{3\pi }{4})$，且 $z_n=z^n{z}_0$。$z_0=2\sqrt{2}+2\sqrt{2}\mathrm{i}=4(\cos \frac{\pi }{4}+\mathrm{i}\sin \frac{\pi }{4})$，故 $z_n=2^{2-n}\left(\cos \frac{3n+1}{4}\pi +\mathrm{i}\sin \frac{3n+1}{4}\pi \right)$。（2）$z_n$ 为实数当且仅当 $\frac{3n+1}{4}\pi$ 是 $\pi$ 的整数倍，即 $n=4k+1$（$k=0,1,2,\cdots$）。此时 $z_{4k+1}=(-1{)}^{k+1}\cdot \frac{1}{2^{4k-1}}=(-2){\left(-\frac{1}{16}\right)}^k$，故 $a_n=(-2){\left(-\frac{1}{16}\right)}^{n-1}$（$n=1,2,3,\cdots$）。（3）${\lim }_{k\to \infty }(a_1+\cdots +a_k)=\frac{-2}{1-(-\frac{1}{16})}=-\frac{32}{17}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：复数的旋转变换

核心方法：变换 $z=\frac{1}{2}(\cos \frac{3\pi }{4}+\mathrm{i}\sin \frac{3\pi }{4})$，$z_n=z^n{z}_0$。

避坑指南：$z_n$ 实数当 $n=4k+1$，$a_n=(-2)(-\frac{1}{16}{)}^{n-1}$，极限 $-\frac{32}{17}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：复数旋转变换。

结论推广：旋转并伸缩对应复数乘法。

方法推广：利用三角形式求通项与极限。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 1988-上海-27 解-复数的模与辐角
• 1989-上海-26 解-复数集合与辐角模
• 1990-全国文-25 解-复数方程的求解