1987-上海-27 解-椭圆的焦半径与距离

本题导读

本题考查椭圆焦半径与点到直线距离，核心在于用椭圆定义化简。

📌【题干】

Question

（1987年上海卷） 设 $A(x_1,y_1)$ 为椭圆 $x^2+2y^2=2$ 上的任意一点，过点 $A$ 作一条斜率为 $-\frac{x_1}{2y_1}$ 的直线 $l$.又设 $d$ 为原点到直线 $l$ 的距离，$r_1$，$r_2$ 分别为点 $A$ 到椭圆两焦点的距离.试证明 $\sqrt{r_1{r}_2}\cdot d$ 是常数.

🔍【思路分析】

破题导航

椭圆 $x^2+2y^2=2$ 即 $\frac{x^2}{2}+y^2=1$，焦距 $c=1$，用焦半径公式与距离公式。

✅【答案】

Success

$\sqrt{r_1{r}_2}\cdot d=\sqrt{2}$（常数）

✍【详细解析】

Abstract

椭圆 $\frac{x^2}{2}+y^2=1$，$c=1$，焦点 $(\pm 1,0)$。$r_1^2=(x_1+1{)}^2+y_1^2$，$r_2^2=(x_1-1{)}^2+y_1^2$。直线 $l$ 过 $A$ 斜率 $-\frac{x_1}{2y_1}$，原点到 $l$ 的距离 $d=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{1+y_1^2}}$。又 $x_1^2+2y_1^2=2$，可证 $r_1{r}_2=2(1+y_1^2)$，故 $\sqrt{r_1{r}_2}\cdot d=\sqrt{2(1+y_1^2)}\cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{1+y_1^2}}=\sqrt{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：椭圆的焦半径与距离

核心方法：用椭圆定义 $r_1+r_2=2a$ 与焦半径公式，结合点到直线距离。

避坑指南：$\sqrt{r_1{r}_2}\cdot d=\sqrt{2}$ 为常数。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：椭圆焦半径。

结论推广：椭圆上点到两焦点距离满足 $r_1+r_2=2a$。

方法推广：用定义与焦半径公式。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结

类题演练 (Links)

• 1988-上海-28 解-双曲线与等差数列
• 1990-全国文-26 解-椭圆方程与最值
• 1989-全国文-24 解-椭圆与双曲线公共焦点