1987-上海-11 填-二项展开式系数的差

本题导读

本题考查二项展开式中系数的差。

📌【题干】

Question

（1987年上海卷） ${\left(x-\frac{1}{x}\right)}^8$ 的展开式中，$x^4$ 的系数与 $\frac{1}{x^4}$ 的系数之差是$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

通项 $C_8^r{x}^{8-2r}$，$x^4$ 项 $r=2$、$\frac{1}{x^4}$ 项 $r=6$。

✅【答案】

Success

$0$

✍【详细解析】

Abstract

通项 $T_{r+1}=C_8^r{x}^{8-r}(-\frac{1}{x}{)}^r=(-1{)}^r{C}_8^r{x}^{8-2r}$。$x^4$ 项 $r=2$ 系数 $C_8^2$，$\frac{1}{x^4}$ 项 $r=6$ 系数 $C_8^6=C_8^2$，差为 $0$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二项展开式系数的差

核心方法：$(x-\frac{1}{x}{)}^8$ 中 $x^4$ 系数 $C_8^2$（取 $x$ 的指数 $6-2$）与 $\frac{1}{x^4}$ 系数 $C_8^6$。

避坑指南：$x^4$ 项 $C_8^2$、$\frac{1}{x^4}$ 项 $C_8^6=C_8^2$，差为 $0$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：二项展开式系数。

结论推广：$(x-\frac{1}{x}{)}^n$ 对称项系数相等。

方法推广：通项公式求系数。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 22.03 二项式定理全总结

类题演练 (Links)

• 1989-上海-24 解-二项式系数相等
• 1988-全国文-07 单-二项式展开式的系数
• 1987-全国文-11 填-二项展开式系数的关系