1987-上海-04 填-异面直线所成的角

本题导读

本题考查异面直线所成的角，用向量法求解。

📌【题干】

Question

（1987年上海卷） 设 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 为一正方体，$E$，$F$ 分别为 $B{B}_1$，$DC$ 的中点，则 $AE$ 与 $D_{1}F$ 所成的角为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

建系求 $AE$、$D_{1}F$ 方向向量，点积为零得夹角 $\frac{\pi }{2}$。

✅【答案】

Success

$\frac{\pi }{2}$

✍【详细解析】

Abstract

设棱长为 $1$，$A(0,0,0)$、$E(1,0,\frac{1}{2})$、$D_1(0,1,1)$、$F(\frac{1}{2},1,0)$，$\overrightarrow{AE}=(1,0,\frac{1}{2})$、$\overrightarrow{D_{1}F}=(\frac{1}{2},0,-1)$，点积 $=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}=0$，故夹角 $\frac{\pi }{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：异面直线所成的角

核心方法：建系求 $AE$ 与 $D_{1}F$ 的方向向量，点积为 $0$ 得夹角 $\frac{\pi }{2}$。

避坑指南：设正方体棱长为 $1$，$\overrightarrow{AE}\cdot \overrightarrow{D_{1}F}=0$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：异面直线夹角。

结论推广：建系用方向向量点积求异面直线夹角。

方法推广：向量法求空间角。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.05 几何法求空间角专题

类题演练 (Links)

• 1988-上海-26 解-异面直线与线面角
• 1988-全国文-12 单-正四棱台中的异面直线
• 1990-全国文-14 单-异面直线所成的角