1986-广东理-34 填-三角方程的解集

本题导读

本题考查三角方程的解集。

📌【题干】

Question

（1986年广东卷(理)） 方程 $\sin (\frac{\pi }{3}-x)\cos (x+\frac{\pi }{3})-\frac{\sqrt{3}}{2}=0$ 的解集是$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

用积化和差或和差化积化简。

✅【答案】

Success

$\{x\mid x=k\pi +\frac{5\pi }{6}$ 或 $x=k\pi +\frac{2\pi }{3}$，$k\in \mathbf{Z}\}$

✍【详细解析】

Abstract

$\sin (\frac{\pi }{3}-x)\cos (x+\frac{\pi }{3})=\frac{1}{2}[\sin (\frac{2\pi }{3})+\sin (-2x)]=\frac{1}{2}[\frac{\sqrt{3}}{2}-\sin 2x]$。原方程 $\frac{\sqrt{3}}{4}-\frac{1}{2}\sin 2x-\frac{\sqrt{3}}{2}=0$，$\sin 2x=-\frac{\sqrt{3}}{2}$。$2x=k\pi +(-1{)}^k(-\frac{\pi }{3})$，即 $2x=2k\pi -\frac{\pi }{3}$ 或 $2x=2k\pi +\frac{4\pi }{3}$，得 $x=k\pi -\frac{\pi }{6}$ 或 $x=k\pi +\frac{2\pi }{3}$。整理为 $x=k\pi +\frac{5\pi }{6}$ 或 $x=k\pi +\frac{2\pi }{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三角方程的解集

核心方法：$\sin (\frac{\pi }{3}-x)\cos (x+\frac{\pi }{3})$ 化积。

避坑指南：$\{x=k\pi +\frac{5\pi }{6}$ 或 $x=k\pi +\frac{2\pi }{3}\}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：三角方程。

结论推广：化积或降次。

方法推广：解集周期性。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.03 积和转化与半角公式

类题演练 (Links)

• 1987-上海-17 单-和差化积公式
• 1989-广东理-27 填-和差化积求值