1986-广东理-03 单-正三棱锥侧面与底面的二面角

本题导读

本题考查正三棱锥侧面与底面所成二面角的余弦。

📌【题干】

Question

（1986年广东卷(理)） 侧面为等边三角形的正三棱锥，其侧面与底面所成的二面角的余弦的值是 ()

A. $\frac{\sqrt{3}}{2}$　　　　B. $\frac{\sqrt{2}}{2}$　　　　C. $\frac{1}{2}$　　　　D. $\frac{1}{3}$　　　　E. $\frac{\sqrt{2}}{3}$

🔍【思路分析】

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底面正三角形的射影面积比侧面射影面积。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

正三棱锥底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心。设底面边长 $a$，底面面积 $S_{底}=\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^2$，侧面（等边三角形）面积 $S_{侧}=\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^2$。侧面在底面的射影为 $\frac{1}{3}{S}_{底}$（正三角形中心到三边），故 $\cos \theta =\frac{S_{底}}{3S_{侧}}=\frac{1}{3}$。故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：正三棱锥侧面与底面的二面角

核心方法：正三棱锥侧面等腰、底面正三角形，射影为底面中心。

避坑指南：$\cos \theta =\frac{S_{底}}{3S_{侧}}=\frac{1}{3}$，选 D。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：棱锥二面角。

结论推广：射影面积比。

方法推广：$\cos \theta =S_{底}/S_{侧}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.05 几何法求空间角专题

类题演练 (Links)

• 1987-广东理-16 单-三棱锥的二面角
• 1987-广东文-21 单-三棱锥的二面角